MatLab 知识小结

youshen

matlab常用到的永久变量。
ans：计算结果的默认变量名。
i j：基本虚数单位。
eps：系统的浮点(F10a9Bg个oht)：
inf: 无限大，例1/0
nan NaN：非数值(N航a nmnb谢)
pi：圆周率n(n＝3．1415926．．)。
realmax：系统所能表示的最大数值。
realmin: 系统所能表示的最小数值，
nargin: 函数的输入参数个数：
nargout：函数的输出多数个数

①matlab的所有运算都定义在复数城上。对于方根问题运算只返回处于第一象限的解。
⑦matlab分别用左斜／和右\来表示“左除和“右除”运算。对于标量运算而言，这两者的作用没有区别：但对于矩阵运算来说，二者将产生不同的结果。

多项式的表示方法和运算
p(x)=x^3-3x-5 可以表示为p=[1 0 –3 5],求x＝5时的值用plotval(p,5)
也可以求向量：a=[3 4 5],plotval(p,a)
函数roots求多项式的根 roots(p)
p=[1 0 -3 5];
r=roots(p)
由根重组多项式poly(根)
q=poly(r)
real(q) 有时会产生虚根，这时用real抽取实根即可
conv(a,b)函数 多项式乘法（执行两个数组的卷积）
a=[1 2 3 4];
b=[1 4 9 16];
c=conv(a,b)
多项式的加减法，低阶的多项式必须用首零填补，使其与高阶多项式有同样的阶次
多项式除法 [q , r]=deconv(c , b) 表示b/c q为商多项式，r为余数
多项式的导数 polyder(f)
f=[ 2 4 5 6 2 1];
s=polyder(f)

多项式的曲线拟合
x=[1 2 3 4 5];
y=[5.6 40 150 250 498.9];
p=polyfit(x,y,n) 数据的n次多项式拟合 poly：矩阵的特征多项式、根集对应的多项式
x2=1:0.1:5; n取1时，即为最小二乘法
y2=polyval(p,x2); 计算多项式的值 （polyvalm计算矩阵多项式）
plot(x,y,'*',x2,y2);grid on
最小二乘法
x=[1 2 3 4 5];
y=[5.6 40 150 250 498.9];
plot(x,y,’*’),lsline

多项式插值 （p158）
YI=interp1(x,y,XI,’method’) 一维插值
(XI为插值点的自变量坐标向量,可以为数组或单个数。
method为选择插值算法的方法，包括：
linear(线性插值)
cubic(立方插值)
spline(三次样条插值)
nearst(最近临插值)

例如：人口预测
year=1900:10:1900;
number=[78 91 105 ….每十年的人口数];
x=1900:1:2000;
y=interp1(year,number,x,’spline’);
plot(year,numeber,’*’,x,y);grid on

一维博里叶变换插值使用函数interpft实现，计算含有周期函数值的矢量的傅里叶变换
然后使用更多的点进行傅里叶变换的逆变换，函数的使用格式如下：y=interpft(x,n) 其中x是含有周期函数值的矢量，并为等距的点，n为返同等间距点的个数。

求解一元函数的最小值
y=fminbnd('humps',0.3,1) humps为一内置函数
求解多元函数的最小值
函数fminserch用于求多元函数的最小值。它可以指定一个开始的矢量，并非指定一个区间。此函数返回一个矢量为此多元函数局部最小函数值对应的自变量

纹理成图功能
由warp函数的纹理成图功能实现平面图像在空间三维曲面上的显示。
将文件名为flowers.tif的图像分别投影到圆柱形和球星表面上
i=imread('flowers.tif');
[x,y,z]=cylinder;
subplot(1,2,1),warp(x,y,z,i);
[x,y,z]=sphere(50);
subplot(1,2,2),warp(x,y,z,i);
warp(x,y,z,i);

求函数的零点
求函数humps在[1，2]区间上的零点 fzero(‘humps’,[1,2]);
也可以给一个初始值 fzero(‘humps’,0.9);
对于多项式可直接由roots求其根 roots(‘4*x^3+……’);
也可以用solve
c=sym('c','real');
x=sym('x','real');
s=solve(x^3-x+c)

函数定积分
q=quadl(‘humps’,0,1) 求humps函数在0 1区间上的定积分，也可以用quad语句

二重积分 首先计算内积分，然后借助内积分的中间结果再求出二重积分的值，类似于积分中的分步积分法。
Result=dblquad(‘integrnd’,xin,xmax.,ymin,ymax) integrnd为被积函数的名称字符串

符号积分运算int(f)
最精确的是符号积分法
计算s=∫12[∫01xydx]dy
syms x y 中间为空格，不能为逗号
s=int(int(‘x^y’,’x’,0,1),’y’,1,2) 引号可省略
vpa(s) 显示s的值
内积分限为函数的二重积分
I=∫14[∫√y2(x2+y2)dx]dy
符号法I=vpa(int(int(‘x^2+y^2’,’x’,sqrt(y),2),’y’,1,4)

微分运算（diff）
微分是描述一个函数在一点处的斜率，是函数的微观性质、因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感，而微分很敏感。 —个函数的小的变化，容易产生相邻点的斜率的大的改变。由干微分这个固有的困难．所以尽可能避免数值微分．特别是对实验获得的数据进行微分。在这种情况，最好用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分；或用另一种方法对点数据进行三次样条拟合，然后寻找样条微分，但是，有时微分运算是不能避免的，在MATLAB中．用函数diff汁算一个矢量或者矩阵的微分(也可以理解为差分)。
a=[1 2 3 3 3 7 8 9];
b=diff(a) 一次微分
bb=diff(a,2) 二次微分
实际上diff(a)=[a(2)-a(1),a(3)-a(2),……,a(n)-a(n-1)]
对于求矩阵的微分，即为求各列矢量的微分，从矢量的微分值可以判断矢量的单调性、是否等间距以及是否有重复的元素。
符号微分运算(diff)
syms x t a
f =cos(a*x)
df =diff(f) 由findsym的规则，隐式的指定对x进行微分
dfa=diff(f,'a') 指定对变量a进行微分
dfa=diff(f,'a',3) 三次微分
diff函数不仅作用在标量上，还可以在矩阵上，运算规则就是按矩阵的元素分别进行微分
syms a x
A=[cos(a*x),sin(a*x),-sin(a*x),cos(a*x)];
dA=diff(A)
微分方程dsolve
在matlab中，符号表达式中包含字母D用来表示微分运算，D2,D3分别对应第二，第三阶导数，D2y表示d2y/dt2 把t缺省了
y=dsolve(‘Dy=f(y)’) 单个方程，单个输出
[u,v]=dsolve(‘Du=f(u,v)’,’Dv=g(u,v)’) 2个方程，2个输出
s=dsolve(‘Dx=f(x,y,z)’,’Dy=g(x,y,z)’,’Dz=k(x,y,z)’)
s.x s.y s.z 3个方程，架构数组

dsolve('Dx=-a*x') 结果：C1*exp(-a*t) 没给定初值，所以结果中含参变量
x=dsolve('Dx=-a*x','x(0)=1','s') 结果exp(-a*s) 给定了初值，独立变量设为s
计算多元函数的梯度
fx=gradient(f) f是一个矢量返回f的一维数值梯度，fx对应于x方向的微分。

[x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);
z=x.*exp(-x.^2-y.^2);
[px,py]=gradient(z,.2,.2);
contour(z),hold on 画等值线
quiver(px,py)

matlab字符串运算
利用sym命令创建表达式
f=sym(‘cos(x)+sin(x)’)或 syms x , f=cos(x)+sin(x)
diff(f) 求其导数
（也可直接用命令f=diff(‘cos(x)+cos(y)’)

当字符表达式中含有多于一个的变量时，只有—个变量是独立变量。如果不告诉matlab哪一个变量是独立变量，则可以通过findsym命令询问
利用findsym命令查询独立变量
f=sym('sin(a*x)+b')
findsym(f,1) 给出独立变量（一个变量，如果为2则给出2个变量）
findsym(f) 给出所有变量

符号表达式的化简和替换
collect函数 collect（f，v）表示将f表示为关于符号变量v的多项式形式，即关于v合并同类项，v缺省，则用findsym确定的缺省变量
syms x y
f=x^2*y+y*x-x^2-2*x+1
collect(f) 得到(-1+y)*x^2+(y-2)*x+1
collect(f,y) 得到(x+x^2)*y+1-x^2-2*x
expand函数 expand（f）将f展开，写成和的形式
syms x
expand((x-1)^3) 得到x^3-3*x^2+3*x-1
horner函数 horner(f)将f写成镶嵌套形式
syms x
horner(x^3-6*x^2) 得到(-6+x)*x^2
factor函数 factor（f）将f转换成低阶有理多项式的乘积
syms x
f=x^3-6*x^2+11*x-6
factor(f) 得到 (x-1)*(x-2)*(x-3)
simplify(f)函数 综合化简
simple(f) 函数的最简形式
syms x
f=2*sin(x^2)+cos(3*x)
simple(f) 如果不想看到中间过程，可z=simple(f) 有时使用两次simple命令可以得到最简式
如果想知道哪个简化命令得到最后结果，可以加一个参数how
[z,how]=simple(f)

符号表达式的替换
subs(f,new,old)
f='a*x^2+b*x+c'
subs(f,'t','x') 得到a*(t)^2+b*(t)+c subs是一个符号函数，返回一个符号变量
subexpr函数 有时matlab返回的符号表达式难以理解，用subexpr函数，可以将表达式中重复出现的子式用一个符号表示，从而简化表达形式
c=sym('c','real');
x=sym('x','real');
s=solve(x^3-x+c)
a=subexpr(s) 得到sigma = -108*c+12*(-12+81*c^2)^(1/2)
a =

[ 1/6*sigma^(1/3)+2/sigma^(1/3)]
[ -1/12*sigma^(1/3)-1/sigma^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*sigma^(1/3)-2/sigma^(1/3))]
[ -1/12*sigma^(1/3)-1/sigma^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*sigma^(1/3)-2/sigma^(1/3))]

pretty函数有时也能起到同样的作用。
Pretty(f) 显示函数的习惯书写形式

线性方程组的求解
求解线性方程组，用反斜杠\
a=hilb(3)
b=[1 2 3]'
a\b

矩阵的特征值和特征向量
用eig(v,d)函数，[v,d]=eig(A); 其中d将返回特征值，v返回相应的特征向量，缺省第二个参数将只返回特征值
syms a b c real
A=[a b c; b c a; c a b];
[v,d]=eig(A);

为了观察更清楚，使用以前学过的替换函数，这里不用默认的sigma，而改用M，显式的代替繁琐的表达子式
vv=subexpr(v);
vs=subs(vv,'m','sigma') 运行结果为
vs =

[ 1, 1, 1]
[ -(c+(m)-a)/(c-b), -(c-(m)-a)/(c-b), 1]
[ -(a-(m)-b)/(c-b), -(a+(m)-b)/(c-b), 1]

再用m替换d中的表达子式
dd=subexpr(d);
ds=subs(dd,’m’,’sigma’)
运行结果为ds =

[ (m), 0, 0]
[ 0, -(m), 0]
[ 0, 0, c+a+b]
note 求特征值也可用以下命令
f=poly(A) poly函数 用来求A的特征多项式
d=solve(f) solve（f）函数用来求多项式的解

svd( )函数 求矩阵的奇异值分解，将矩阵分解为两个正交矩阵和对角矩阵的乘积
a=sym(hilb(2))
[u,s,v]=svd(a)

代数方程和方程组
代数方程的求解可用solve(f)命令，如果f不含＝，matlab将给表达式置零。方程的未知量在默认的情况下由findsym决定或显式指出
syms a b c x
solve(a*x^2+b*x+c) 以x为默认变量
solve(a*x^2+b*x+c，a) 指定对a为变量
求含有等号的方程的解（一定要加单引号）
f=solve(‘cos(x)=sin(x)’)
x=solve('exp(x)=tan(x)') 如果不能求得符号解，就计算可变精度解。
求解方程组与单方程类似
解一个三元一次方程
v=solve('a*u^2+v^2','u-v=1','a^2-5*a+6')
结果为v =

a: [4x1 sym] u: [4x1 sym] v: [4x1 sym]
一些常用的符号运算
极限运算limit
limit(f) 求x到0的极限
limit(f,x,a)或limit(f,a) 求x到a的极限
limit(f,a,’left’) limit(f,a,’right’) 求x到a的左极限和右极限
limit(f,inf) 求x趋于无穷的极限
符号求和symsum(s)
symsum(s) 以默认的findsym决定的变量求和
symsum(s,v) 以s中指定的变量v求和
symsum(s,a,b) symsum(s,v,a,b) 从a到b的有限项求和
syms k n
symsum(k) 从0到k求和
symsum(k,0,n-1) 从0到n－1求和
symsum(1/k^2,1,inf) 无限项求和
泰勒级数taylor(f)
taylor(f)表示求f的5阶talor展开，可以增加参数指定展开的阶数（默认式5），也可以对于多元函数指定展开的变量，还可以指定在哪个点展开
syms x t
taylor(exp(-x))
taylor(log(x),6,1) 在1点的6阶taylor展开
taylor(x^t,3,t) 对t的3阶taylor展开
积分变换
fourier变换和逆变换fourier（f）
fourier分析可以将信号转换为不同频率的正弦曲线。可对离散数据进行分析，也可对连续时间系统进行分析，特别在信号和图形处理领域。离散变换（DFT）作用于有限数据的采集，最有效的是快速fourier变换（FFT）
F=fourier(f) 独立变量x，返回关于参数w的函数
F=fourier(f,v) 返回函数F关于符号对象v的函数
F=fourier(f,u,v) 对关于u的函数f进行变换，而不是缺省的w，返回函数F是关于v的函数
syms t v w x
fourier(1/t)
fourier(exp(-t)*sym('Heaviside(t)'),v)
fourier(diff(sym('F(x)')),x,w)
Fourier逆变换
f=ifourier(F) 缺省独立变量w，返回关于x的函数对w进行积分
f=ifourier(F,v) 返回函数f是关于符号对象v的函数，而不是缺省的x
f=ifourier(F,u,v) 是关于u的函数f进行变换，而不是缺省的x，返回函数f是关于v的函数
Laplace变换和逆变换laplace(f)
应用于连续系统（微分方程）中，可以用来求解微分方程的初值问题
laplace(F) 缺省独立变量t，缺省返回关于s的函数L
laplace(F,t) 返回关于t的函数L，而不是缺省的s
laplace(F,w,z) 对函数F的自变量w积分，返回关于z的函数L
逆变换
F=ilaplace(L) 缺省独立变量s，返回关于t的函数F
F=ilaplace(L,y) 返回关于y的函数F，而不是缺省的t
F=ilaplace(L,y,x) 对函数L的自变量y积分，返回关于x的函数F
Z-变换和逆变换ztrans(f) 标量符号f的Z－变换
F=ztrans(f) 缺省独立变量n，返回关于z的函数
F=ztrans(f,w) 返回关于符号变量w的函数F，而不是缺省的z
F=ztrans(f,k,w) 关于k的符号变量作Z－变换返回关于符号变量w的函数
逆变换iztrans(F)
f=iztrans(F) 或(F,k)或 (F,w,k)

符号绘图函数
符号函数简易绘图函数ezplot(f)
f可以包含单个符号变量x的字符串或表达式，默认画图区间（－2pi，2pi），如果f包含x和y，画出的图像是f(x,y)=0的图像，缺省区间是－2pi<x<2pi,-2pi<y<2pi。
Ezplot(f,xmin,xmax)或ezplot(f,[xmin,xmax])绘制在xmin<x<xmax区间上图像
syms x t
ezplot('t*cos(t)','t*sin(t)',[0,4*pi])
绘制符号图像函数fplot(fun,lims,tol,’linespec’,n)
其中lims=[xmin,xmax]或[xmin,xmax,ymin,ymax] tol为指定相对误差，默认0.001 ‘linespec’指定绘图的线型 n指定最少以n＋1个点绘图
[x,y]=fplot(fun,lims,…) 只返回用来绘图的点，并不绘图，可以自己调用plot(x,y)来绘制图形。
syms x
subplot(2,2,1),fplot('humps',[0,1])
f='abs(exp(x*(0:9))*ones(10,1))'
subplot(2,2,2),fplot(f,[0,2*pi])
subplot(2,2,3),fplot('sin(1./x)',[0.01,0.1],1e-3)
matlab绘图
二维图形的绘制
plot 在(x,y)坐标下绘制二维图像 支持多个x－y二元结构
plot3 在(x,y,z)坐标下绘制三维图形
loglog 在(x,y)对数坐标下绘制二维图形
semilogx 在x为对数坐标，y为线性坐标的二维坐标中绘图
semilogy 在x为线性坐标，y为对数坐标的二维坐标中绘图
plotyy 在有两个y轴的坐标下绘图

plot用法
plot(x,y,'--rs','linewidth',2,'markeredgecolor','k',...
'markerfacecolor','g','markersize',10)
plotyy用法
plotyy(x1,y1,x2,y2) 以x1为标准，左轴为y轴绘制y1向量，x2为基准，右轴为y轴，绘制y2向量
plotyy(x1,y1,x2,y2,fun) 用字符串fun指定的绘图函数(plot ,semilogx,semilogy,loglog,stem)
plotyy((x1,y1,x2,y2,fun1,fun2)
t=0:pi/20:2*pi;
y=exp(sin(t));
plotyy(t,y,t,y,'plot','stem') stem为二维杆图

[ax,h1,h2]=plotyy(…) 返回左右两y轴的句柄（分别为ax(1) ax(2)，以及在两坐标轴中生成的图形对象的句柄，分别为h1 h2
t=0:900;
A=1000;
a=0.005;
b=0.005;
z2=cos(b*t);
z1=A*exp(-a*t);
[haxes,hline1,hline2]=plotyy(t,z1,t,z2,'semilogy','plot');
axes(haxes(1))
ylabel('semilog plot') 对数坐标
axes(haxes(2))
ylabel('linear plot')
set(hline2,'linestyle','--')
其他二维图形绘图指令
bar(x,y) 二维条形图
hist(y,n) 直方图
histfit(y,n) 带拟和线的直方图，n为直方的个数
stem(x,y) 火柴杆图
comet(x,y) 彗星状轨迹图
compass(x,y) 罗盘图
errorbar(x,y,l,u) 误差限图
feather(x,y) 羽毛状图
fill(x,y,’r’) 二维填充函数 以红色填充
pie(x) 饼图
polar(t,r) 极坐标图 r为幅值向量，t为角度向量
t=0:0.1:8*pi;
r=cos(3*t/2)+1/2;
polar(t,r),xlabel('polar 指令')
quiver(x,y) 磁力线图
stairs(x,y) 阶梯图
loglog(x,y) 对数图
semilogx semilogy 半对数图

matlab三维作图
plot3(x,y,z) 三维线条图
t=0:pi/50:15*pi;
plot3(sin(t),cos(t),t,'r*') 与plot相似
v=axis 返回各个轴的范围
text(0,0,0,'origin') 在某个坐标点加入文字
plot3 增加维数可以一次画多个图，使所个二维图形眼一个轴排列

三维网线图的绘制
mesh(x,y,z) 网格图
mesh(x,y,z,c) 四维作图,(x,y,z)代表空间三维，c代表颜色维
mesh(…,’property name’,property value,…) 设置曲面各属性的值
[x,y,z]=sphere(12);
mesh(x,y,z)，hidden off 曲面设置为透明
meshc(x,y,z) 画网格图和基本的等值线图
meshz(x,y,z) 画包含零平面的网格图
waterfall(x,y,z) 与mesh一样，只是在效果上它的网格线只在x轴一个方向出现，呈瀑布状水线
两个变量的标量指令meshgrid(x)或meshgrid(x,y) (p179)
将两个一维向量生成两个二维向量，以便进行z=f(x,y)运算，算出z的所有值，z为x y的标量指令
[X,Y]=meshgrid(x) meshgrid(x,x)的简略式
[X,Y]=meshgrid(x,y)
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z) 用于三维图形的绘制
[x,y]=meshgrid([-2:0.1:2]);
z=x.*exp(-x.^2-y.^2);
plot3(x,y,z)
surf(x,y,z,c) 着色表面图
surf(x,y,z) 隐含着c=z
surf（z） 隐含着x，y的值为surf指令根据z的尺寸自动生成
surfc 画出具有基本等值线的曲面图
surfl 画出一个具有亮度的曲面图
shading flat 网线图的某整条线段或曲面图的某个贴片都着一种颜色
shading interp 某一线段或贴片上各点的颜色由线或片的顶端颜色经线性插值而得
曲面图不能设成网格图那样透明，但需要时，可以在孔洞处将数据设成nun

等高线的绘制
在二维空间绘制等高线contour
contour(x,y,z,n) 绘制n条等值线（n可省略）
contour(x,y,z,v) 在向量v所指定的高度上绘制等高线（可省）
c=contour(x,y,z) 计算等值线的高度值
c=contourc(x,y,z,n) 计算n条等高线的x－y坐标数据
c=contourc(x,y,z,v) 计算向量v所指定的等高线的x－y坐标数据
clabel(c) 给c阵所表示的等高线加注高度标识
clabel(c,v) 给向量v所指定的等高线加注高度标识
clabel(c,’manual’) 借助鼠标给点中的等高线加注高度标识
三维空间绘制等高线contour3(x,y,z)
[x,y,z]=peaks(30);
contour3(x,y,z,16,'g')
二元函数的伪彩图pcolor(x,y,z)
是指令surf的二维等效指令，代表伪彩色，可与contour单色等值线结合画彩色等值线图
[x,y,z]=peaks(30);
pcolor(x,y,z); 伪彩色
shading interp 颜色插值，使颜色平均渐变
hold on,contour(x,y,z,20,'k')... 画等值线
colorbar('horiz') 水平颜色标尺
c=contour(x,y,z,8);
clabel(c) 标注等高线
矢量场图(速度图)quiver
用于描述函数z=f(x,y)在点(x,y)的梯度大小和方向
[X,Y]=meshgrid(x,y) X,Y为Z阵元素的坐标矩阵
[U,V]=gradient(Z,dx,dy) U，V分别为Z对x对y的导数，dx dy是x y方向上的计算步长
quiver(X,Y,U,V,s,’linespec’,’filled’) U，V为必选项，决定矢量场图中各矢量的大小和方向，s为指定所画箭头的大小，缺省时取1,linespec为字符串，指定合法的线形和彩色，filled用于填充定义的绘图标识符
[x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-1:.15:1);
z=x.*exp(-y.^2);
[px,py]=gradient(z,.2,.15);
contour(x,y,z);
hold on,quiver(x,y,px,py),axis image
多边形的填色fill(x,y,c)
c定义颜色字符串，可以是’r’,’b’等，也可以用RGB三色表示[r,g,b]值为0-1
图形的四维表现