求助一个分岔图的分析

kangarooli

我用频闪法画了一分岔图，可是不太明白怎么回事，我求出的两个hopf分岔点是+1.26006，这跟分岔图好像对应的上，可是从图上看这是怎么个运动过程呢，难道是先多周期再单周期然后再多周期吗，还请高人指点，以下是分岔图和程序

程序：
function dy=yuanxitong1(t,y,flag,k1)%原模型
J1=1;
J2=4;
J3=5;
m1=0.4;
m2=0.5;
n1=0.1;
n2=0.1;
k0=0.9;
% k1=-1.26006;%分岔参数
k23=2;
omega=2.1;
w1=sqrt((1/J1+1/J2)*k0);
a1=(1/J1+1/J2)*k1;
c1=(1/J1+1/J2)*m1;
d1=(1/J1+1/J2)*n1;
g1=1/J2*k0;
h1=1/J2*k1;
u1=1/J2*m1;
beta1=1/J2*n1;
w2=sqrt((1/J2+1/J3)*k23);
c2=(1/J2+1/J3)*m2;
d2=(1/J2+1/J3)*n2;
g2=1/J2*k23;
u2=1/J2*m2;
beta2=1/J2*n2;

dy=zeros(4,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=-w1^2*y(1)-a1*y(1)*cos(omega*t)+g2*y(3)...
    +u2*y(4)+beta2*y(4)^3-c1*y(2)-d1*y(2)^3;
dy(3)=y(4);
dy(4)=-w2^2*y(3)+g1*y(1)+h1*y(1)*cos(omega*t)...
    +u1*y(2)+beta1*y(2)^3-c2*y(4)-d2*y(4)^3;

clear all%画图程序
k1=-2:0.1:3;
for z=1:length(k1)
T=2*pi/2;
[t,x]=ode45('yuanxitong1',0:T/100:120*T,[0.1,0.1,0.1,0.1],[],k1(z));
plot(k1(z),x(11000:100:end,1),'k.');
hold on
end

mlcc

从图上看，是先从多周期运动进入单周期运动，然后又出现多周期分叉的。

kangarooli

回复 2 # mlcc 的帖子

这么说属于正常情况吗，我求出的hopf分岔点是+-1.26006，按说发生hopf后不应该是单周期运动啊！

hsfy919

回复 3 # kangarooli 的帖子

正的hopf分叉点是正确的，至于分叉参数是负值的情况没遇见过，不好解释

kangarooli

回复 4 # hsfy919 的帖子

分岔点无所谓正负吧 ，那这个分岔图如何看待呢，我总感觉这个图形不对呢

hsfy919

回复 5 # kangarooli 的帖子

我认为动态hopf分叉是指一个稳定的平衡点变为不稳定的平衡点并生出一个极限环的分叉现象，如果按照这个定义，-1.26006不能算是hopf分叉点

kangarooli

回复 6 # hsfy919 的帖子

hopf分岔本身就是动态分岔吧，在《非线性振动》一书中有这么一句话：hopf分岔是指系统参数变化经过临界值时，平衡点由稳定变为不稳定并从中生长出极限环，它是一种比较简单而又重要的动态分岔问题，由此可见是一种动态分岔问题，再说就按你的定义，为什么负的就不能是分岔点呢，能否解释下呢？

hsfy919

回复 7 # kangarooli 的帖子

是这样的，hopf是动态分叉，是我写错了，现已更正，谢谢你的提醒。按照hopf分叉的定义平衡点先是稳定再到不稳定，如果取参数正向变化，你图中那个负值是从不稳定到稳定，当然不能算是hopf分叉点

kangarooli

回复 8 # hsfy919 的帖子

其实我对这个静态分岔与动态分岔也是一知半解，你说的也是我困惑的地方，觉得看过的分岔图都是那种从稳定->多周期->混沌什么的，像上面这样的还真没见过，所以我感觉画的肯定不对，可是我不知道问题出在哪里

hsfy919

回复 9 # kangarooli 的帖子

从多周期或混沌到周期解这种现象倒是见过，可是好像没有人讨论这个分叉点是不是hopf分叉。不过如果从纯数学的角度来想，我觉得参数从负到正和从正到负没有实质区别，可以说参数从负到正时，+1.26006为hopf分叉点；反过来参数从正到负计算时，-1.26006为hopf分叉点。不知道这样理解是否可行

kangarooli

回复 10 # hsfy919 的帖子

呵呵，其实你说那个负的不可能是分岔点的时候我就是这么想的，我觉得是可以的，它只说经过一个临界值，却没说方向。我现在到不关心这个是不是分岔点，我就觉得这个分岔图不对，难道是我分岔点求取得不对，在这段期间不会发生分岔，研究中，有结果再发上来

octopussheng

请考虑一下超临界Hopf分岔、亚临界Hopf分岔。

kangarooli

回复 12 # octopussheng 的帖子

你是说在画分岔图的时候应该关注的是发生亚临界hopf分岔的情况吧，有道理，把这个问题忽略了，我试试看

octopussheng

你计算分岔图时，是用的什么方法？

kangarooli

回复 14 # octopussheng 的帖子

就是上面程序的最下面那一点，无水前辈的闪频法吧