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[动力学和稳定性] 理解波动系列算例(三):Wave-mode duality,以悬臂梁为例.

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发表于 2015-6-5 17:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 Rainyboy 于 2015-6-5 10:41 编辑

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算例(三):wave-mode duality (以悬臂梁为例)
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关于wave-mode duality (姑且直译为 波-模态二相性吧),在一些帖子里讨论过一些,比如:振动和波动有什么区别和联系。问题的核心在于,正如这个系列算例开始时所说的那样,什么是波?它与有限结构的动力特性(固有振动,强迫响应)等的联系是什么? 在这个帖子里,我将会用一个悬臂梁的强迫稳态响应来展示这个问题。在展示具体结果之前,我想引用一下以前散落在各处的,关于我自己对这个问题的看法:

1,正如大家所说,振动和波动是同一个物理现象的两种描述方式。但我认为这两种提法与所分析的结构的大小(有限大,无限大)有关。也就是我感到这两种描述方式有各自的常用环境,似乎在有限大小的结构分析中,振动术语提得多一些;而在考虑无限大小的结构分析中,波动术语提得多一些。

2,当然,“有限”和“无限”也是相对的,随着分析频率的提到,也可以认为实际上是有限的结构作为了“无限”结构进行分析。所以大概也可以说“无限大”通常可理解为“高频”或“不考虑边界反射”的“有限大”结构。

3,这两种提法,我认为实际上来源于不同的求解方法。在有限结构的“振动”的求解中,所面临的问题是偏微分方程的初-边值问题,通常用的是坐标分离法(模态叠加法),一般解被表示为多个模态振动的叠加;而在无限结构的“波动”求解中,偏微分方程的求解域是无限的,通常采用的是坐标变换(傅里叶变换法),一般解被表示为多个简谐波形的叠加。

4,这两种求解方法所得的结果是可以相互转换的,也就是说可以用求解“无限域”的方法来求解“有限域”的响应,其关键在于处理边界上的反射(4-1)。也可以用求解有限域的方法来求解无限域的响应,其关键也在于如何恰当地“取消”边界的反射(4-2)。

5,对于问题4-1,常用的数值工具之一是波有限元方法(Wave and finite element method,缩写WFEM),在计算有限域的响应时所用的基本位移形式并不是模态,而是一系列传递的波(propagation wave)。其求解过程类似于传递矩阵法,只不过在计算时同时考虑了边界对这些波的相位的影响。这方面的工作英国University of Southampton的B. R. Mace, D. J. Meed等等做的很多,我国的钟万勰院士也对这一方法作出了非常重要的贡献(W. X. zhong, F. W. Williams, 1994)。

6,对于问题4-2,常用的数值工具之一是人工边界条件(Artificial Boundary Condition,缩写ABC),最开始的出发点是通过在边界上布置一系列弹簧-阻尼-质量单元来模拟远场对进场的反作用,从而在对无限域的分析中只需要对近场进行建模。这方面的工作据我所知北方科技大学的杜修力和赵密(应力型ABC),还有廖振鹏院士(位移型ABC)等等的工作。

以及:

其实就题目问题“波动和振动有什么区别”而言,我觉得是:

有“振动”的地方就有“波动”,反之亦然,它们就是同一个现象:结构的自由或受迫反应

对于这个观点,同志们也许有这样两个反例:

1,对于单自由度系统,不就只有振动现象没有波动现象吗?
2,对无限结构,不就只有波动现象而没有共振(振动现象的最典型体现)现象吗?

对于这两个论点,我的意见是:

1,单自由度系统(哪怕是你真的搭一个弹簧-质量块系统)在现实中是不存在的,所谓的“单自由度”更准确的说法应该是指“只考虑有限结构的某一阶模态”的一种简化。而模态——或“固有振型”,不恰恰是波动现象的一个特例——驻波吗?所以,单自由度系统既是振动范畴的一个特例(只考虑一个模态),也是波动范畴的一个特子(只考虑一种波的驻波)。而书本上常用的弹簧-质量模型只是一个粗糙的示意图(恕我直言,这也许正是阻碍同志们深入理解波动现象的罪魁祸首:因为这个示意图从直观上排除了振动所具有的“波”的那一面),真的在现实中搭起弹簧-质量模型,也会具有很多模态的,也是可以观测到波(在弹簧中和在质量块内部)的传播的。

2,无限结构也有共振,很多同志可能认为“无限结构没有共振”仅仅是因为“无限结构的共振无法直观地通过手边的分析工具得到”而已。就用兄台举例的铁轨为例,是一个典型的无限周期结构(infinite periodic structure),这样的结构在频散曲线(dispersive curves)上的典型特征是具有通带(pass band)和禁带(stop band),对于在禁带中的波,其群速度(group velocity)是0,这意味着能量的传递速度也是零(无阻尼系统的群速度和能量传播速递一致是经过严格证明的)——也就是说这种波所携带的能量将不能通过弹性波从近场传递到远场,这样很可能会导致驻波(也就是共振)在近场的形成,如果你在原点对这样的无限周期结构进行激励,并将激励频率设置到禁带,那么在所获得的频响曲线上将同样具有趋向于无穷大的峰值。与具有鲜明边界条件的有限结构不同,无限周期结构对波的“全反射”并不是一次性发生的,而是在经历了多个周期之后将绝大部分的能量反射回近场。


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振动和波之间具有的这些迷人的联系在学界也是常有讨论的,还有一个名字,叫“wave-mode duality”(波-模态 二象性),关于这二者的关系,大概有如下论点(来自 http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-015-9173-7_1 ):

Lyon and DeJong [1]: “we must emphasise that it is always possible, at least in principle, to arrive at the same conclusions by either [the wave or mode] approach”;
(我们要再次强调的是,至少在理论上,分别用振动理论和波动理论获得相同的结论总是可能的。)

Fahy [2]: “just how pure standing wave fields can be created in any elastic system, by reflection of waves from boundaries of arbitrary geometry, is something of a mystery”.
(通过边界对弹性波的反射,任意形状的弹性结构都可以形成纯粹的驻波,简直是一个奇迹。)

[1] Lyon, R. H., and DeJong, R. G.: Theory and Application of Statistical Energy Analysis, Second Edition, Butterworth-Heinemann, Boston, 1995.
[2] Fahy, F.J.: Sound and Structural Vibration: Radiation, Transmission and Response, Academic Press, London, 1985.

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最后,跟大家分享一个我自己的另一个思考:

既然这两者就是一个东西,为什么会有一套“振动理论”,还有一套“波动理论”呢?

我目前的体会是,因为它们要解决的问题有各自的侧重点。

经典振动理论的关注点在于共振。为此,它将研究对象从他所处的环境中隔离出来,赋予合适的位移边界条件,使其成为有限结构。还在于用有限的模态坐标表征具有大量自由度、甚至无限自由度的系统,直接简明的预测了结构的共振现象。模态坐标的使用使得这套理论在预测共振频率和响应方面非常直观。由于对共振和位移场细节的准确把握,这套理论通常被用来校核强度(应力水平)、计算裂纹扩展、疲劳寿命等等。

波动理论的关注点在于“近场”和“远场”的能量交换。什么样的波能从近场传递到远场?传得多块?传了多少?被反射了多少?传递过程中的衰减有多少(有阻尼情形)?为了保证“远场”的任意性,总是假设近场与一个无限大的远场相连(比如在有关地震的研究中),或远场就是近场的无限重复(在周期结构的研究中)。由于主要关注的点是弹性波,换言之就是结构中的声音,因此与之相关的应用是降噪、无损探伤等等。


或者粗糙一点说,如果你关心你设计的东西会不会坏,多半你会用振动理论和术语(共振、应力、寿命)多一些;如果你关心你设计的东西噪音水平怎么样,多半你会用波动理论和术语(传递损失, 频散曲线, 禁带, 通带)多一点。

这里我们考虑这样一个问题,一个悬臂梁,一点受载荷,怎样求解它的稳态响应?
这里展示两个方案:
1. 偏“振动”的方法是模态叠加法,即先求解结构的自由振动,再将强迫响应表示为自由振动的线性叠加,最后确定各阶模态的系数。
2. 偏“波动”的方法是先求解无限域自由波动问题,将强迫响应表示为弹性波的叠加。再将激振力、边界条件等都转换到波空间中,已确定系数。

上述两种方案都可以解析地处理,具体过程就不赘述了,方法1可参考任何一本振动力学书。方法2应该也有专著,但可以参考如下论文:
Waki Y, Mace BR, Brennan MJ. Numerical issues concerning the wave and finite element method for free and forced vibrations of waveguides. J Sound Vib 2009;327(1-2):92–108. Doi: 10.1016/j.jsv.2009.06.005.

最后,上结果吧:


模态叠加求解
mode.gif







波动方法求解
wave.gif



注意两个方法得到的强迫响应结果完全一致。模态叠加法用的是一组同步的,各自分别满足边界条件的基函数去表示振动。而波动方法则是一组不同步的,单独不满足边界条件的基函数去表示振动。

大家一起玩味一下吧。


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下集预告:没有具体计划了,因为基本点上应该都清楚了,再说就涉及未发表的结果了。
“理解波动”系列就先到这里吧:)
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系列链接
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“理解波动”系列算例(一):在有限结构上算出“波动” (同时包含对这系列算例的一些说明)
“理解波动”系列算例(二):将无限域波动解映射到有限域
理解波动系列算例(三):Wave-mode duality,以悬臂梁为例.



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发表于 2016-4-10 16:27 | 显示全部楼层
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