[转载]有限元与变分法

Frank

（一）有限元方法的基础是变分原理和加权余量法
       其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
      在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
      常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形 网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点 。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
    有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

    对于有限元方法，其基本思路和步骤可归纳为
(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条 件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元 具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将 近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进 行累加，形成总体有限元方程。
(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。
(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭 方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值

（二）Comsol软件采用的是加权余值法
    有限元法的最主要的一个特点就是把要求的方程偏微分形式转化成积分形式，而这一过程主要通过两个途径：加权余值法和变分法。而等效积分弱形式是针对加权余值法来说的。把强形式转化为弱形式，是前期有限元的核心技术；随着技术的进步和发展，才慢慢将变分法引入到有限元，从一定程度上说，变分法比加权余值更加先进合理，其实现在的变分法还在逐渐进步和发展，当然也有一些争议，比如对我国胡海昌院士提出的广义变分原理独立变量数目的争议，但总体来说，变分法是优越于加权余值法的。这也是为什么大部分商业cae软件采用变分法的原因（COMSOL，FEPG除外）！
    将微分方程转化为弱形式，这个弱并不是弱化对方程解的结果，而是弱化对解方程得要求，具体点是弱化待求变量的连续性，当然这种弱化是以提高权函数的连续性为代价的。通过引入权函数或试函数，将微分方程转化为等效积分方程，要使这一积分形式有解或者说存在，就必须对权函数和待求变量加以限制，将等效积分形式分步积分，得到的形式就称为等效积分弱形式。因为分步积分后，算子导数阶次降低，对待求变量的连续性降低，这就起到了弱化作用，将近似解带入微分方程会有余值，而这余值形式中又有我们前面引入的权函数，所以我们把这种余值的加权积分，称为加权余值法，这一名称应该就是这么来的。为了保证微分形式和积分形式是等效的 ，引入的权函数必须任意的，如果选权函数为待求变量解前面的形函数，那么这一形式就变成我们所说的伽辽金法（Galerkin法),因此可以说，伽辽金法是众多加权余值法中的一种，都是在近似试函数中选择参数，得到近似解。而里兹法(Ritz) 是基于变分原理的。有些人总不分变分和加权残值法，其实这两种方法是不同的，虽然有时候是等效的。

    个人最为推崇的有限元理论基础是微分方程的“弱积分形式”，因为它的适用范围更广。前面大家说的，虚位移原理，最小势能原理或者是哈密顿原理，变分原理....都是限于力学问题的。其实这里的几种方法都可以看做是力学变分原理的推导结果，说白了，分析力学上面都有这些内容。
对于非力学问题，我们很难采用上面的原理，说到变分呢，如果不能构造相应的泛函，变分形式就难以获得。反观“等效积分弱形式”，可以包括所有的问题，由此，我们可以建立迦辽金形式的标准有限元和非标准有限元。

变分法是数学的一个分支，用来找到泛函的极值函数，也常用来确定分析泛函过程中的极值。
加权余量求解偏微分方程步骤：
1.初步选取尝试函数、构造近似解
2.结合问题的边界条件对尝试函数进行修正，以简化求解
3.写出余数表达式
3. 写出加权余数表达式（迦辽金方法选取加权函数）
4. 令权余数表达式在各尝试函数下为0，得到代数方程组，解之得到待定系数，从而确定近似解

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