非线性有限元之材料非线性

玫瑰有刺

　　大部分结构的材料属性都有非线性成分，以金属材料而言，具有弹塑性本构关系，当结构承载未进入塑性阶段，可以采用线弹性材料本构关系，当发生屈服，应变与应力不再是单纯的线性关系，此时即是材料非线性。非线性材料还包括复合材料橡胶材料等非线性性质，本文主要涉及金属材料的塑性本构。
　　金属材料在拉伸试验时经历三个变形阶段，弹性阶段、初始屈服和强化阶段，弹性阶段应力与应变线性对应，卸载时不会留下残余变形;当达到材料的屈服点时，材料发生屈服，对于没有明显屈服台阶的材料一般取0.2%的应变对应的应力为屈服强度;强化是指加载超过了初始屈服应力之后卸载，且卸载过程服从弹性规律，再次加载达到新的屈服点，则可发现弹性范围有扩大的现象，在强化阶段内的任何一点卸载都会留下一定的不可回复的残余变形，这也就是塑性应变。
　　金属材料还有一个比较特殊的性质，当材料加载至屈服阶段的某一应力点，然后全部卸载，再反向加载，可发现反向屈服应力有降低或增大的现象，此性质叫做包辛格效应。
　　金属材料的屈服准则有Mises屈服准则(最大形变能住准则)和Tresca屈服准则(最大剪应力准则)，这两个屈服准则均与静压力(平均应力)无关。Mises准则和Tresca准则在应力空间中的几何意义如图1所示。

　　图1
　　图1中的L线是应力空间中的等应力线，Tresca屈服函数在应力空间中是一个以L线为轴线的正六角棱柱的六个面(不含上下面)，Mises屈服函数在应力空间里是外接于Tresca屈服函数的等直圆柱面。两种屈服函数在应力空间里均是无限长的等值柱体，与L先无交点，这也反映屈服与平均应力无关。
　　为了解屈服准则的力学意义，需要先了解应力空间。应力空间是认为构造的一个空间，任何一点的应力状态均可以在空间中找到对应的点，因为任何一点的应力状态均可以表示为它的主应力状态和三个主应力方向。
　　L线是在空间中相对于三个主应力轴的等倾线，很明显可由数学知识得到L线与各个轴线的夹角为67.7度。Π平面是过原点垂直于L线的平面，在该平面上平均应力处处为0。屈服面在Π平面上的投影称为屈服轨迹。
　　与屈服函数紧密相关的是塑性流动准则，经常在论文中看到这样的话“采用Mises屈服准则和相关联的流动准则”。流动准则是决定塑性应变产生的形式。
　　Prager和Dructer提出的塑性应变矢量方向与塑性势能函数的梯度方向一致，当塑性势能函数与屈服函数一致时，得到与屈服面相关联的塑性流动法则，而且试验证明许多工程材料的塑性势函数可取为屈服函数。
　　材料的强化主要有随动强化和等向强化，如果材料在一个方向屈服强度提高(强化)在其它方向的屈服强度也同时提高，这样的材料叫等向强化材料。如果材料在应该方向的屈服点提高，其它方向的屈服应力相应下降，比如拉伸的屈服强度提高多少，反向的压缩屈服强度就减少多少，这样的材料叫随动强化材料。具体用那种强化模型要看你的材料是那种材料。不过从上面的分析可以看出，如果你只是单向加载，(即没有加载到屈服，卸载，再反向加载到屈服)两种材料模型的效果是一样的。
　　对于多数实际材料,强化规律大多介于等向强化和随动强化之间，也就是混合强化(在Abaqus里面有这个选项)。在加载过程中,如果在应力空间中应力矢量的方向(或各应力分量的比值)变化不大，则等向强化模型与实际情况较接近。由于这种模型便于数学处理，所以应用较为广泛。随动强化模型考虑了包辛格效应，可应用于循环加载和可能反向屈服的问题中。

　　用两张图可以很明显的表达等向强化和随动强化的差异。



　　图2 等向强化模型



　　图3 随动强化模型
　　在图2中，反向加载阶段的屈服点B’和B点的应力值大小相同，而图3中的屈服点A’则与B点应力值大小不相同。也就是应力在低于初始屈服极限时就开始屈服，这种现象的原因是包辛格效应。

　　为了在实际应用时更好的描述材料的本构关系，存在以下几种应力应变模型，包括线性强化模型、幂指数强化模型、理想塑性和刚塑性模型。



　　图4 线性强化模型



　　图5幂指数强化模型



　　图6 理想塑性和刚塑性模型(弹性变形很小，可不记)

　　根据以上的几种模型，可以分别采用数学方程来描述应力与应变的关系：如图7所示。



　　图7
　　卸载阶段的应力增量始终与应变增量满足线性关系，也就是满足卸载定律。
　　dσ=Edε

　　上面的模型均是基于准静态过程得到的应力应变关系，对于非准静态过程，比如冲击试验，材料模型会发生相应的变化，需要考虑应变率效应。



　　图8 高速冲击下的本构模型
　　应变率效应一般在蠕变、应力松弛以及碰撞等问题中出现。

　　以前述幂指数强化模型为例，当需要考虑应变率时，材料的本构模型方程如下：



　　图9



　　图10
　　ANSYS 程序提供了多种塑性材料选项，在此主要介绍四种典型的材料选项，可以通过激活一个数据表来选择这些选项。
　　(1)经典的双线性随动强化(BKIN)
　　使用一个双线性来表示应力应变曲线，所以有两个斜率，弹性斜率和塑性斜率，由于随动强化的 Von Mises 屈服准 则被使用，所以包含有鲍辛格效应，此选项适用于遵守 Von Mises 屈服准则，初始为各向同性材料的小应变问题， 这包括大多数的金属。
　　(2)双线性等向强化(BIS0)
　　也是使用双线性来表示应力-应变曲线，在此选项中，等向强化的 Von Mises 屈服准则被使用。这个选项一般用于初始各向同性材料的大应变问题。需要输入的常数与 BKIN 选项相同。
　　(3)多线性随动强化(MKIN)
　　使用多线性来表示应力-应变曲线，模拟随动强化效应.这个选项使用 Von Mises 屈服准则，对使用双线性选项(BKIN)不能足够表示应力-应变曲线的小应变分析是有用的。
　　(4)多线性等向强化(MISO)
　　使用多线性来表示使用 Von Mises 屈服准则的等向强化的应力-应变曲线，它适用于比例加载的情况和大应变分析。
　　在这里需要提一个概念，等效塑性应变PEEQ与塑性应变量PEMAG，这两个量的区别在于，PEMAG描述的是变形过程中某一时刻的塑性应变，与加载历史无关;而PEEQ是整个变形过程中塑性应变的累积结果。画出某点的应力 - 应变图，应力是指输出量 SEQV(Mises 等效应力)，总应变由累加的塑性应变 EPEQ 和弹性应变得来。
　　ANSYS和Abaqus定义材料曲线输入的数据不太一样，ANSYS输入总应变与应力，而Abaqus输入塑性应变和应力，因此ANSYS中输入的第一点是屈服应力以及屈服应力对应的弹性应变，而Abaqus中输入的第一个点是屈服应力和0(第一个点的塑性应变为0)。

　　另附ANSYS定义非线性材料：
　　即：ANSYS中材料非线性定义命令流：
　　1.定义材料的弹性模量:
　　①MP, ! (该命令中应含有材料号)
　　或 ①MPTEMP,
　　MPDATA, ! (该命令中应含有材料号, MPTEMP+MPDATA是连续的)
　　2. 激活非线性材料属性表并定义
　　②TB, ! (该命令中应含有材料号, 三个命令是连续的)
　　TBTEMP,
　　TBDATA,
　　或 ②TB, ! (该命令中应含有材料号, 三个命令是连续的)
　　TBTEMP,
　　TBPT,
　　ANSYS TB的解释
　　tb,lab,mat,ntemp,npts,tbopt,eosopt
　　定义非线性材料的特性和特殊的单元属性

　　该命令中的参数含义可以查看ANSYS帮助文档，或者查看参考资料[3]的博文。



转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6465f2ed0102x2xa.html

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