边界元与有限元方法相比较的优缺点

幻化成雨

边界元与有限元方法相比较的优缺点

一本书上关于有限元和边界元的比较，摘录如下： 有限元基于区域上的变分原理和剖分插值，边界元基于边界归化及边界上的剖分插值；有限元属于区域法，其剖分涉及到整个区域，而边界元只需对边界离散，因此，可以降低求解问题的维数；有限元法待求未知数多，要求解的方程规模大，导致输入数据多，计算的准备工作量大，边界元法则相对规模小一些；有限元必须同时对所有域内节点和边界节点联立求解，边界元只需对边界节点联立求解，然后可以相互独立、完全并行的计算域内各点的函数值；有限元的系数矩阵带状稀疏，且保持对称正定性，边界元法的矩阵为满矩阵，一般不能保证正定对称性；有限元适应复杂的几何形状和边界条件，适于求解非线性、非匀质问题，边界元仅适应规则区域及边界条件，适于求解线性、匀质问题；有限元适合于求解有界区域无奇异性问题，而边界元适合于求无界区域问题及若干奇异性问题；对于狭长区域，有限元的精度高于边界元，其它情况下，边界元的精度较高。

1、边界元方法使问题的维数降低一维，例如：三维问题变为二维问题，二维变成一维问题。使得解题的自由度下降。
2、边界元相对于有限元来说，在相同离散精度的条件下，边界元解的精度要高于有限元。
3、边界元方法在有些情况下，可以较容易地处理有限元方法很难处理的问题，例如，无限域问题，断裂问题等。
4、在问题的规模(自由度)不大的情况下，边界元的解题速度高于有限元方法。但是，由于边界元方法形成的线性方程组的系数矩阵是满阵，所以在处理大规模问题时遇到了困难，解题的规模受到限制。适合于处理中小规模问题。
5、边界元适合于处理位势问题、弹性问题，而在处理弹塑性问题或大的有限变形问题时，由于需要对物体进行体积离散，此时，边界元降维的优点消失。所以会在处理这一类问题时遇到一些困难。
6、边界元相对于有限元来说，其软件的商业化程度远不如有限元。所以，其处理问题时，一般是针对某一问题专门编制程序进行计算。其前、后处理的工作量较大。
7、边界元方法解题需要求出问题的基本解，基本解的推导一般比较复杂。通过许多学者的努力对于一些问题，基本解已经被推导出来，但是，对于某些问题，问题的基本解很难求出。

二者的耦合起来解决问题还是有人做的，尤其是模拟半无限空间体时一般用有限元对分析域内部进行求解，而在边界上采用边界元，这在二维、三维波动问题数值模拟中还是较为常用的吧。这正是充分地发挥两者的优势。利用有限元适合于解决大规模问题和边界元适合于解决无限域问题和解的精度高的特点，来更好地解决实际问题！对于有些问题，用两者耦合的方法是比较好的！

推荐几本边界元论著：堪称经典的还是老布的那本 The Boundary Element Method for Engineers，有中文译本，算是国内较早的边界元入门书籍了，中文名称：《工程师用的边界元法》C.A.Brebbia 科学出版社1986.7 布莱比亚先生现在在英国主持一个学术刊物，国内不少文章都投向那边。

数值计算方法介绍

1、有限差分法（Finite difference method，FDM）
   这是求得偏微分方程数值解的最古老方法，对简单的几何形状中的流动与传热问题也是一种最容易实施的方法、其基本的实施方法是，将求解区域用网格线的交点（节点）所组成的点的几何来代替，在每个节点上，描述所研究的流动与传热问题的偏微分方程中的每一个导数项用相应的差分表达式来代替，从而在每个节点上形成一个代数方程，其中包含了本节点及其附近一些节点上的所求量的未知值。求解这些代数方程组就获得了所需的数值解。在 规则区域的结构化网格上，有限差分法是十分简单而有效的，而且很容易引入对流项的高阶格式。其不足的是离散方程的守恒特性难以保证，而最严重的缺点则是对不规则区域的适应性差。
2、有限容积法(Finite volume method，FVM)
   有限容积法从描述流动与传热问题的守恒型控制方程出发，对它在控制容积上作积分，在积分过程中需要对界面上被求函数的本身（对流通量）及其一阶导数的（扩散通量）构成方式作出假设，这就形成了不同的格式。由于扩散项多是采用相当于二阶精度的线性插值，因而格式的区别主要表现在对流项上。用有限容积法导出的离散方程可以保证具有守恒性（只要界面上的插值方法对位于界面两侧的控制容积式一样的即可），对区域形状的适应性也比有限差分法要好。是目前应用最普遍的一种数值方法。
3、有限元法（Finite element method，FEM）
   有限元法中把计算区域划分成一组离散的容积或者叫元体（在二维情形下元件的形状常常是三角形或者四边形），然后通过对控制方程作积分来得出离散方程，它与有限容积法的主要区别在于：
   （1）对每个元体要选定一个形状函数（最简单的为线性函数），通过元件中节点上的被求变量之值来表达该形状函数，并在积分之前把所有假设的形状函数带入到控制方程中去；
   （2）控制方程在积分之前应乘上一个选定的权函数，并要求在整个区域上控制方程余量的加权平均值为零，从而导出一组关于节点上被求变量的代数方程。
    有限元法的最大优点是，对于不规则几何区域的适应性好。有限元法在对流项的离散处理及不可压缩Naver0-Stokes方程的原始变量法求解方面不如有限容积法发展成熟。但随着有线容积法中非结构化网格的应用，有限容积法与有限差分法之间的差别正在缩小中。
4、有限分析法（Finite analytic method，FAM）
   在有限分析法中也像有限差分法、有限容积法那样，用一系列网格线将计算区域进行离散，所不同的是在这里每个节点（网格的交点）与其相邻的四个网格（二维问题）组成一个计算单元，即每一个计算单元由一个内点及八个邻点所组成。在计算单元内把控制方程的非线性项（如N-S方程中的对流项）局部线性化（即认为流速已知），并对该单元边界上未知函数的变化型线作出假设，把所选型线表达式中的常数或者系数用单元边界节点的函数来表示。这样在该单元内的被求解问题转化成了第一类边界条件下的问题，设法找出其分析解，并利用这一分析解找出该单元的内节点及其八个邻点上未知函数值之间的代数表达式，这就是该内点的离散方程。逐一对求解区域的每一个节点建立离散方程，并对计算区域边界上不是第一类条件的每节点补充一个方程，就完成了整个计算区域的离散方程的建立过程。
    有限分析法是80年代初发展起来的一种数值方法，它可以克服高Reynolds数下有限差分法及有限容积法的数值解容易发散或振荡的缺点，但其计算工作量较大，对计算区域几何形状的适应性也较差。
5、边界元法（Boudary element method，BEM）
   上面四种方法都必须对整个区域作离散化处理，用分布在整个区域上的有限个节点上函数的近似值来代替连续问题的解。在边界元方法中应用格林函数公式，并通过选择适当的权函数把空间求解域上的偏微分方程转换成为其边界上的积分方程，它把求解区中任一点的求解变量（如温度）与边界条件联系了起来，通过离散化处理，由积分方程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的未知值后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值。边界元法的最大优点是，可以使求解问题的空间维数降低一阶，从而使计算工作量及其所需计算机容量大大减小，边界元法推广应用的一个最大限制是，需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解，虽然对不少偏微分方程这个基本解业已找出，但对Navier-Stokes方程这个非线性偏微分方程，至今尚未找到基本解。目前的一种处理方式是，把Navier-Stokes方程中的非线性项看作是扩散方程的源项并通过迭代的方式来求解，但一般只能获得Re较低情形的解。
6、谱分析法（Spectral method，SM）
   在谱方法中被求解的函数用有限项的级数展开来表示。例如，有限项的傅里叶展开，多项式展开等。显然，只要这种级数中每一项的系数一确定，这个被求解的函数的近似形式也就完全确定了。因而与前面五种离散方法不同的是，在谱方法中要建立的代数方程式关于这些系数的代数方程，而不是节点上被求解函数值的代数方程。显然，级数的项越多，其精度也越高。建立未知系数的代数方程的基本方法是加权余数法，即首先将近似解带入控制方程（设控制方程中所有的项均移到了等号左边），再乘以近似解级数中的一个项称为权函数（不包括该项中待定的系数），然后对整个求解区域作积分，并要求该积分式等于零，就得出一个关于待定系数的代数方程，这样以系数解中每一个含有待定系数的项作权函数，就可以得到总数与待定系数数量相等的代数方程组。求解方程组，就得出了被求解函数的近似解。
   谱分析法用于偏微分方程的近似求解始于20世纪70年代末，其优点是可以获得高精度的解，但不适宜用于编制通用程序，目前只是在比较简单的流动与传热问题中已经应用的比较成功。
7、数值积分变换法（Integral transformation method，ITM）
   我们知道在偏微分方程的分离变量法求解中，一个被求函数表示了两个特征值问题所规定的特征函数乘积的线性组合。一般地说，任意一个函数可用相应的特征值问题的特征函数来表示。对不具备分析解的非线性偏微分方程，设法把它的解表示成一个特征值问题的解及一个降维的定解问题解的组合：其中特征值问题具有分析解，而定解问题则应包含该问题的诸多非线性复杂因素，因而要采用数值解法，这就是数值积分变换法。由于该定解问题降低了维数（常常变为常微分方程的初值问题或者两点边值问题），因而数值求解比较方便，这一方法是分析解法与数值解法的混合方法。对于数值解问题而言，只需要得出某个降维了的空间内（对二维问题或者是时间坐标或者是某个空间坐标）的数值解，整个求解区域内的值则可以用分析解与数值解的组合来得到。在获得降维的定解问题过程中需要进行积分变换与反变换，而该降维问题的求解是采用数值方法的，因而称其为数值积分变换法。这一方法的优点是计算精度可以较高，降维问题是一个常微分方程，有成熟的数值方法可以采用，但这种方法不容易形成通用程序，特征值问题的选取有一定的任意性，对非线性强烈的问题，计算工作量比较大。
8、格子-Boltzmann方法（Lattice-Boltzmann method，LBM）
   格子-Boltzmann方法是基于分子运动论的一种模拟流体流动的数值方法。在上述各种数值方法中，把本质上市离散的介质先假定是连续的，在此基础上建立起了N-S方法，然后又再把它离散化。在LMB中不再基于连续介质的假设，而是把流体看成是许多只有质量没有体积的微粒所组成，这些微粒可以向空间若干个方向任意运动。通过其质量、动量守恒的原理，建立起表征质点在给定的时刻位于空间某一位置附近的概率密度函数。再通过统计的方法来获得质

来源：新浪wondering的博客