修整FIR尺度滤波器的幅相加长迭代重组方法

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　　《用幅相重组Symlets尺度滤波器获得更好重建精度》(2016-04-29)表明，直接利用不加长的FFT简单地把幅度谱标准化，这很好地改善了Symlets系列的尺度滤波器，但是，对于Daubechies系列，这是无益的(除非特殊的被处理信号长度值)。所以，后一系列FIR的相位谱数据中，有不宜忽略的影响离散变换精度的成分。

　　本短文假定，当滤波器序列的幅度谱已知而且足够精确时，如果相位谱也足够地相配的话，那么在理想的FIR长度区间之外，序列值应该小得可以忽略不计，故可能用迭代的方法，对FIR做“加长幅相重组”式的适度修整。

　　设x是用Matlab小波工具箱的函数symaux和dbaux得到的长度为Lm0的FIR序列，Lr0是FFT时的加长(Matlab默认末端补零，padded with trailing zeros)整数倍的因子，I0是允许的最大迭代次数。

　　把x做Lm0乘以Lr0点-FFT,变换到频域，留用其相位谱序列，而把其幅度谱以同阶Daubechies尺度滤波器的频域表达式得到的理想型幅谱序列强行替换掉，然后，把合成谱序列用IFFT变换到时域，记其结果为序列y。

　　取y的最开始Lm0个时间点上数据的实部，作为新的尺度滤波器序列x，如果还必要的话，则再返回上一步，即做幅度谱和相位谱重组的迭代处理。
　　迭代终止条件为：新x的范数明显荒谬(即，方法失败)，或残余误差小于10倍机器精度值)，或达到了限定的迭代次数。

　　所谓残余误差指，序列y减去新x序列后，其余下部分的范数。迭代过程中，记录下，最小残余误差及其相应的新尺度滤波器序列。在迭代和输出前，将滤波器序列的范数重新归一化。

　　图片1.右半部的AprcOptimFIR.m，是用上述方法修整sym1至sym35以及db3至db42的所有FIR序列的完整程序。其中的子函数AprcIterFFT的代码, 实现上述迭代处理。

　　程序退出时，画出四条误差曲线。它们依次分别为：修整前的FIR序列的偶数平移系的规范正交性误差(从自相关序列测)，修整后输出的FIR序列的偶数平移系的规范正交性误差，迭代输出的残余误差，新旧尺度滤波器之间的差序列的范数。

　　图片1.的左半部的曲线图表明(允许的最大迭代次数为68，FFT的加长因子为4)，修整后的尺度滤波器的质量，有了极显著的提高。规范正交性的误差，减小的程度，平均约到6个数量级。修整时的残余误差很小。保护好了原序列的基本。迭代和增加FFT的点数，对于Symlets系列的改善，是不必要的。


　　图片1. 修整FIR尺度滤波器的幅相加长迭代重组的程序和测验结果




转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_729a92140102wbfb.html