请问如何判断矩阵是否为病态？

VibrationMaster

有个著名的矩阵叫hilbert矩阵,看看你对它的改造结果如何.
还有一种东西叫Matrix Scaling, 你查找相关的东西.
答辩的时候别忘了致谢我呕:'(

[ 本帖最后由 VibrationMaster 于 2009-11-9 06:09 编辑 ]

zuohaoyi

很病态矩阵打交道很长时间了，也做了不少工作，可说来惭愧，究竟病态矩阵的本质究竟是什么，或者说究竟什么原因导致矩阵病态到现在也没有完全弄清楚。我在百度里搜索到以下结论：
判别分析的一个假设是用来判定组别的变量不能是完全冗余的变量。判别分析的计算过程中，要求模型中的变量方差/协方差矩阵的逆矩阵。如果变量是与另一个变量完全冗余的，这个矩阵称为病态矩阵，即矩阵不能求逆。例如，有一个变量是其他三个变量之和，这个变量也存在于模型中，这个矩阵就是病态矩阵。
该结论中强调的是“如果存在冗余变量就导致矩阵病态”，这我与我一直的理解是一致的。那是不是只有这一种情况会导致矩阵病态呢？请看下列：
矩阵A为   1     2
                     2     7
该矩阵不存在变量冗余，条件数为19，是个很好的矩阵。
矩阵B为   100000    200000
                      2               7
该矩阵同样不存在冗余变量，可条件数却是1.6667e+005，是个病态矩阵。这是为什么？

Greaf

病态问题是指输入数据有微小扰动时，计算结果对之很敏感，即条件数很大的时候。一般矩阵的某些行（列）之间近似的成线性关系，或者矩阵各元素的数量级相差很大，又没有什么分布规律的时候，这个矩阵就有可能出现病态的情况了。

zuohaoyi

那说穿了就是矩阵向来间多重共线性会导致严重的病态了。但反过来病态不一定是由向量间多重共线性导致的，而有可能是因为矩阵元素相差很大导致的。看来病态是一个比多重共线性更加广泛的概念。

[ 本帖最后由 ChaChing 于 2010-5-2 17:14 编辑 ]

zhangjungis

原帖由 zuohaoyi 于 2009-11-8 19:39 发表

                               
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楼上，那应该缩小多少才算显著呢？一个矩阵，条件数为10^3量级，是不是很严重的病态？判断一个矩阵病态程度是“十分严重”，还是“一般”，还是“稍微病态”，有一个大致标准吗？我找了很久都没有这方面的资料。能否 ...

我觉得这位仁兄说的话很有道理，同时也有这样的疑问，请各位赐教，先谢过了！