发现混沌吸引子

咕噜噜

最近看书的时候发现吸引子都是由数值计算发现的，要从数值计算上获得混沌吸引子很关键的问题就是选择初始条件，寻找一个系统的捕捉区或包含捕捉区的吸引域，并且这个捕捉区包含不稳定的奇点。
自治的平面系统不会出现混沌吸引子，要使一个平面系统出现混沌吸引子，该系统必须是非自治系统，为什么？（摘自《非线性动力学——分岔、混沌与孤立子》）三维以上就不成立了

[ 本帖最后由 咕噜噜 于 2007-6-14 18:47 编辑 ]

无水1324

原帖由 咕噜噜 于 2007-6-12 12:04 发表

                               
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最近看书的时候发现吸引子都是由数值计算发现的，要从数值计算上获得混沌吸引子很关键的问题就是选择初始条件，寻找一个系统的捕捉区或包含捕捉区的吸引域，并且这个捕捉区包含不稳定的奇点。
自治的平面系统不 ...

现在困难的是怎么样有效快速的计算出吸引域！

flybaly

这是我qq空间的一个日志，去年的时候自学相关书目的时候写的。
或许理解的不是太深刻，可以作为一般了解。我原版贴过来，错误再所难免，见笑。
能产生混沌的最小的相空间的维数
发表时间：2006年12月6日 21时57分
这是一个简单的问题，但可以让我们对概念更清楚一些。
这也是一个让人产生疑惑的问题，因为能产生混沌的最小的相空间的维数取决于所考虑系统的类别。

首先考虑一个流（也就是所说的微分方程系统）。此时，按照Poincare-Bendixson定理，一维和二维的系统内不会产生混沌现象。混沌可以在三维相空间内产生，比如Lorenz系统就是一个三维的例子。已经有关于三维的流形可能产生浑沌的证明。

注意：如果系统是非自治的，那么时间也可以考虑成一个相空间的坐标。因此两个物理变量加上时间变量，就可以产生混沌现象。比如二阶受迫振动就可能产生混沌。

然而对于映射系统，如果它是不可逆的，一维的映射也可以产生混沌现象。Logistic映射就是一个典型的例子：x' = f(x) = rx(1-x)。已经证明，当r=4时（当然还有很多别的值），此系统是浑沌的。注意，对于每个x < f(1/2)的点都有两个原像，因此此系统是不可逆的。

对于同胚拓扑，至少两维的相空间才可以产生混沌。这等价于微分方程系统，因为按照Poincare映射，三维的流才能够产生二维的同胚拓扑。

注意，微分方程的数值算法就是一个映射，因为计算时的时间必须是离散的。这样二阶甚至一阶常微分方程的数值解可能也产生混沌结果。这通常是因为所选择的时间步长太大的缘故。例如Logistic微分方程的欧拉离散化，dx/dt = rx(1-x)就等价于一个logistic映射。

咕噜噜

Poincare-Bendixson定理啊，^_^，我去找找看

无水1324

"Logistic微分方程的欧拉离散化，dx/dt = rx(1-x)就等价于一个logistic映射"
这个转换过程产生混沌，应该不是由于步长的原因而产生的吧！

luyanfeng333

出来冒个泡，^_^

flybaly

原帖由 无水1324 于 2007-6-12 20:12 发表

                               
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"Logistic微分方程的欧拉离散化，dx/dt = rx(1-x)就等价于一个logistic映射"
这个转换过程产生混沌，应该不是由于步长的原因而产生的吧！

这个微分方程有精确解，而离散後变成logistic映射，在特定的步长下会产生奇怪吸引子。

咕噜噜

那如果时间步长选择足够的小是不是就可以避免混沌？

无水1324

其实这是个映射的过程。离散化后的结果。产生混沌也是由于r参数的影响得到的一维混沌映射过程

无水1324

这个是Logistic映射图，与r有重要的关系！

无水1324

这r=3.5时的图！

咕噜噜

^_^，最重要的还是发现混沌吸引子，那么如何更好的来寻找吸引子？在不稳定的奇点周围寻找系统的捕捉区域，应该是有一定的经验可循的。
我用matlab画的Lorenz系统的吸引子，很简单，见笑了

hohoo

:lol 还是很像蝴蝶的

无水1324

不要跑题，我在跟flybaly 讨论你上面提到的那个问题1

咕噜噜

那个你们在讨论，我再看，看不明白我再去看书，可这几天没多少时间看书
我这几天愁住宿问题那:'( 以后我怎么办啊，晚上开了一晚上会，没地方住了，还要天天去劝我们同学一定要搬