振型叠加法和Newmark法计算结果不同

向前看

求解线性微分方程，在时域中，用振型叠加法和Newmark法计算得出的结果很不一样，这是为什么呢

vehicle

可能是振型叠加法的模态数取少了，可以试着多取一些模态

wanyeqing2003

我做过比较，会有一些差别，但不会差太多。

VibrationMaster

振型叠加法:

1往往不考虑初始条件,,Newmark解法中则包含了初始条件

2.模态分解中一般要求阻尼可解藕,当阻尼不可解藕时,Newmark仍可以继续,当时振型叠加法往往需要将阻尼矩阵近似为可解藕矩阵,从而导致差异

3.当然Newmark中步长不能太大

无水1324

这里有差别，我们该怎么评判解的正确性呢？

wanyeqing2003

Newmark方法是在时域中的分析，需要提供初值条件，也就是需要设置初始位移和速度。

而振型叠加法是在频域内变换，对于解耦后的运动方程，可以在时域，也可以在频域内分析。

wanyeqing2003

对于短时间内计算结果，时域分析和频域分析会有较大的偏差。这是因为存在初值的影响。经过一段长时间后，这样的偏差会减小。

频域分析注重的是稳态结果，所以初值影响应该忽略。

就方法本身来说振型叠加法和Newmark方法也会有一些差别，不过对于稳态响应和简单模型来说，误差不会太大。复杂模型难说。

向前看

就以单自由度系统来说吧，考虑阻尼比为0.05，质量为0.5，刚度为1
初始条件X0，V0均为0；
用在正弦激励（正弦激励为f=2*sin(5*t)）下，单自由度系统响应的位移精确值和Newmark法出来的图形差距也很大，（Newmark的步长为0.01）。

也不知道为什么差距那么大

wanyeqing2003

能不能把比较的图形，或者数据提供上来，以便于分析讨论。

按道理说，单自由度简单系统应该不会有多少差别。

后知后觉

Newmark可能结果能好些

向前看

图一是精确解图形

图二是Newmark法做出的解图形

向前看

%这是精确解程序
clear all
close all
m=0.5;
c=0.05;
k=1;
x0=0;
v0=0;
tf=30;
delt=0.001;
w=5;
f0=2;
wn=sqrt(k/m);
z=c/(2*m*wn);
lan=w/wn;
wd=wn*sqrt(1-z^2);
A=sqrt(((v0+z*wn*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2);
t=0:tf/1000:tf;
phi=atan2(2*z*lan,1-lan^2);
phi1=atan2(v0+z*wn*x0,x0*wd);
B=f0/(k*sqrt((1-lan^2)^2+(2*lan*z)^2));
x=A*exp(-z*wn*t).*sin(wd*t+phi1)+B*sin(w*t+phi);
plot(t,x);grid
xlabel('时间（s）')
ylabel('位移')
title('位移与时间的关系')

%这是Newmark法的程序
close all
clear all
tf=30;
delt=0.01;
fid1=fopen('disp1','wt');
m=0.5;
c=0.05;
k=1;
x0=0;
v0=0;
bita=1/6;
md=inv(m+delt/2*c+bita*delt^2*k);
ml=inv(m);
for t=0:delt:tf
    f=2*sin(5*t);
    if t==0
        xdd0=ml*(f-k*x0-c*v0);
    else
        xdd=md*(f-c*(v0+delt/2*xdd0)-k*(x0+delt*v0+(1/2-bita)*delt^2*xdd0));
        xd=v0+delt/2*(xdd0+xdd);
        x=x0+delt*v0+(1/2-bita)*delt^2*xdd0+bita*delt^2*xdd;
        xdd0=xdd;
        v0=xd;
        x0=x;
        fprintf(fid1,'%10.4f',x0);
    end
end
fid2=fopen('disp1','rt');
n=tf/delt;
x=fscanf(fid2,'%f');
t=1:n;
figure('numbertitle','off','name','自由度1的位移','pos',[450 180 400 420]);
plot(t,x),grid on,xlabel('时间*0.1秒'),title('自由度1的位移与时间的关系');

wanyeqing2003

从图形看：
1、精确解中，没有包含初值影响的因素；
2、newmark方法好像有一些谐波分量。
请检查数据。

我现在手边没有资料，我有时间再帮你看看。

wanyeqing2003

我把原来用Newmark方法和振型叠加法分析的结果放上来，供参考。

wanyeqing2003

这是一个两自由度模型。脉冲激励。结果非常接近。误差小于3%。