非线性的强弱该怎么分?

无水1324

如题,在我们学习非线性的时候,经常会看到若非线性和强非线性的问题,那么这些方程的强弱是怎么划分的呢,这个问题特别是对初学者,根本就不知道怎么去划分。如有这样的疑惑，欢迎跟贴讨论！
（注明，以前的帖子中提到这样子的问题，希望在这里做一个系统的讨论及总结，所以衷心欢迎各位做非线性的朋友参与讨论！）

octopussheng

个人认为可以根据系统简化时，是否引入小参数（注：远小于1的参数）来分类。

弱非线性振动——如果描述振动系统的微分方程非线性项的系数，相对于线性项是很微小的量，即非线性项含有小参数；
强非线性振动——如果描述振动系统的微分方程非线性项的系数，相对于线性项不是很微小的量，或者系统微分方程不能归结为非线性部分带有小参数。

无水1324

看了你的意思还是根据小参数的数量级是否大于1  来分。
这样子合理吗
我也见过大于1的然后把它当这一个小参数

octopussheng

我认为上面的判断是目前比较公认的非线性强、弱的分辨方法。

至于大于1，仍把它当做小参数，请问其线性项系数比其非线性项系数，是否存在远大于的关系？

如果是远大于的话，我觉得也可以认为是小参数呀，做一些数学处理就可以了。

无水1324

改变只是一些近似而已，那你认为会改变强弱？

qqchun

可根据要处理问题，选一线性模型去比较，根据需要，定义比较差值。

octopussheng

无水这句话能否详细说明说明？不是很明白你的意思哦！

无水1324

我的意思是通过参数变化是一些系统由强非线性转化为弱非线性问题

tshgth

比如下面方程所描述的系统，是弱非线性还是强非线性，要是用近似解法的话，必须是弱非线性，应该在哪一项加小参数呢？加的依据是什么？

octopussheng

1 这个方程要求近似解，不一定非要是弱非线性，也有处理强非线性问题近似解的方法

2 加小参数，首先要将你的方程写出正则形式，可以参考一下多尺度法求解的方程

无水1324

把方程两边乘以1/m，然后你可以设置c，k2，k3处为小量。但是我觉得你还要考虑到实际的物理模型，然后再去选择那些是小参数

octopussheng

原帖由 qqchun 于 2009-8-5 19:32 发表

                               
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可根据要处理问题，选一线性模型去比较，根据需要，定义比较差值。

我的一些观点——非线性的强弱分类，是为了其近似解求解而主观分别的，产生弱非线性的主要原因，是因为非线性解析方法在刚发展的初期，是建立在线性系统解析解求解的基础上的，因为可以认为弱非线性的近似解是其线性系统解的一个摄动，这个摄动就是由小参数产生。

随着非线性理论的发展，很多新的求解方法被提出，这时，强非线性的近似解求解成为可能，从而在传统摄动方法基础上，发展了大参数方法。

无水1324

恩，你的思路是对的。所以以前的简化因素，慢慢的增加，恢复原来的样子！

octopussheng

:lol
呵呵，无水最近思路很不错啊，想法不少，继续加油，多提出一些来，我们一起学习学习。

无水1324

我已经很痛苦了
我做着很矛盾，觉得什么东西都不是了，而且我还不知道找谁说，:funk:2

[ 本帖最后由 无水1324 于 2009-8-6 16:58 编辑 ]