高斯白噪声信号的傅立叶变换分析

xray

最近在看论文《插值FFT估计正弦信号频率的精度分析》的时候，发现论文中用到了三个结论：
（1）对于N点相互独立的高斯白噪声信号，其傅立叶变换以后，仍然得到一个N点的复高斯白噪声信号，其方差为原来的N/2倍，而且各点仍然相互独立；
（2）若对上述N点高斯白噪声信号加一个窗函数w(n)，再进行傅立叶变换，同样可以得当一个N点的复高斯白噪声信号，其方差与所用的窗函数有关，而且各点之间也不再独立；
（3）对于一个复数z＝x+jy，叠加一个复高斯随机变变量g=p+jq，那么，当|z|>>|g|时，|z+g|可以近似表示为|z|＋p。也就是说，两者之和的模可以近似为复数z的模加上随机变量g的实部p。
这三个结论是引自作者的博士论文，遗憾的是，这篇论文本人始终没有找到，于是自己动手证明了这三个结论（见附件），在此与大家分享，如有疏漏之处，请大家指正。

此外，本人也顺便证明了，N点相互独立的高斯白噪声信号经过Hilbert变换以后的性质，不知道这个工作前人是否做过，如果大家知道有这方面的文章请指正，谢谢！

hzmaxwell

谢了！高手啊，呵呵:@D

zhuguanwen

高手啊，有用

tian201002

公式好多

aptx4869kk

真是强人啊，多谢多谢，自己证明不出来，找了这个证明好久了，感谢啊！！！

ddnjr

高手，赞一个！

杰式悦敏

高手  有用哈  好好研究一下

背水一战

高手啊啊啊啊啊

sunyuxinhe

这个证明，我在一篇1983年出版的IEEE transactions paper中看过，这个结论可以直接引用期刊文章，

hcharlie

拜读了本文以后，我怎么觉得，很多基本概念模糊了。文中说：
《（1）对于N点相互独立的高斯白噪声信号，其傅立叶变换以后，仍然得到一个N点的复高斯白噪声信号，。。。。。。》
我理解的傅立叶变换，一定是无穷域的t域函数变换到无穷w域，有限域的数列好像谈不到什么傅立叶变换。
所以所谓N点的高斯白噪声也存在什么傅立叶变换，还有什么N点的复高斯白噪声，本人才疏学浅，真是不明白。
下面还定义了什么 G(k)=。。。。。
只能说是定义了一个数列，也敢自称是什么傅立叶变换表达式。恰恰在《随机振动与谱分析概论》第4章一开篇就明白说清楚这是表示一个周期函数的，不是用来表示白噪声（随机信号）的。
凡是无穷域的白噪声，到了有限域，只能称为数学估计，不敢说“等于”。。。，也就是不存在什么精确的“数学等于”。
下面一系列的运算，也许证明了某些数列之间的关系，但说这是高斯白噪声的傅立叶变换的关系，不敢苟同！
简单说，一个高斯白噪声N点采样的统计值，（请注意我这里说一个高斯白噪声N点采样，与N点高斯白噪声的说法有本质的区别）比如平均值，均方值，比如1024个点，可以精确计算出来，这只是这1024个采样的精确值，对于白噪声总体来是个估计值，下一N点，又算出一个精确值，可又是白噪声总体的又一个估计值。
E(g)=0,E(g^2)=σ^2，两个公式，只对于无穷域的白噪声才精确相等，有限域是不（精确）相等的。
我们不能说某个1024点的统计值就是白噪声的统计值，是个估计值，永远不会精确等于。
同样，无限域连续函数的傅立叶变换与有限域离散数组的离散傅立叶变换（DFT或FFT）要严格区别出来。
某组1024点的离散数组的FFT可以精确算出来，它也是高斯函数频谱的一个估计值，下一个1024点采样FFT以后也算出又一个精确值，它也是总体的另一个估计值，就这样简单。
差别在于，平均值，均方值，毕竟经过N次平均，更接近于精确等于，而一次DFT或FFT没有频域平均，其计算的值距离无穷域的高斯白噪声的值，差的远多了。
《而且各点仍然相互独立》，定理1中的这句话，又有问题了，明明是共轭对称，怎能说是相互独立？

qhai_yun

我认为定理1中什么傅立叶变换之后方差一定大了多少倍，是个伪命题。
从文中的定义，应该指离散傅立叶变换。
傅立叶变换和傅立叶逆变换是不可分割的一对，它有一个重要的特性，就是一正一反变换以后能还原，这才是真正的定理。
为了做到这一点，不同的著作在表述傅立叶变换时都在变换前加系数，各人可以加不同的系数对，保证正反变换以后数据能还原。
本文（正）变换前没有加系数，文章没有写出逆变换的定义，更不知有没有系数。如果也没有系数，一正一反变换肯定还不了原。
所以说正变换以后大了多少倍完全是个伪命题，完全决定于变换前加的系数。
所以傅立叶老先生对一次变换以后大多少倍根本不感兴趣，他老人家只关心一正一反变换以后一定要还原！
再就事论事吧，在证明中，正确地得到实部和虚部的方差都是(N*σ^2)/2，所以很明显，从能量观点，总方差应该是N*σ^2，而不是其半！（实部是余弦的分量，虚部是正弦的分量，都应该算能量。好比男，女都是一样的人）
所以下面出来以本人名字qhaiyun命名的qhaiyun猜想：
任何振动数组的符合文中定义的离散傅立叶变换方差大N倍；
同样在不加系数的逆离散傅立叶变换中方差也要大N倍；
为了达到傅立叶老先生的心愿
或在正变换或在逆变换中，加以1/N的系数！

hcharlie

多年前本人用随机数发生器产生的等概率分布的随机数，(非高斯分布的),构成随机复数，做FFT，再做IFFT还原，象文中变换的定义，但是FFT和IFFT都加根号N分之一的系数，1024点除以32，这样每次变换以后，均方值都不变！不问物理概念，数字游戏，好玩。
玩多了才能理解傅立叶变换的真谛！

yeywuf

看不到附件啊。。。。愁

chengteng

好东西啊，谢谢

hcharlie

<对于N点相互独立的高斯白噪声信号，其傅立叶变换以后，仍然得到一个N点的复高斯白噪声信号>
注意，这里谈的是N点（N=1，128，1024，32768。。。反正不是无穷大）有限域的信号，其傅立叶变换，应该是DFT或FFT，其结果是代表以原来的N点序列无限重复得到的无限长周期信号的频域特征，所以现在原始信号不是真正意义的白噪声，不是真随机，是一种伪随机，也叫伪白噪声。无限长的真随机，真白噪声的傅立叶变换因不符合傅立叶变换的条件而不存在的。
初学者必须搞清楚白噪声（随机信号）的基本基本概念，不要随便喝彩！
文中很多概念，公式，比如 满足正态分布，E(g)=0,E(g^2)=σ^2，等只是在无穷域的概念和公式，现在在N点的有限域也直接拿来用，胆子真大！