（求助）如何解如下形式的超越方程

compaq0000

最近几天碰到一个问题，一个复数形式的超越方程解不出来，希望论坛的各位朋友帮帮忙。

函数形式：0.25 = i * x / sinh ( x )

上式中，未知数是x，i代表复数。根据文献，应该是有不止一个解。

MATLAB求解亦可。

万分感激。

compaq0000

最近几天碰到一个问题，一个复数形式的超越方程解不出来，希望论坛的各位朋友帮帮忙。

函数形式：0.25 = i * x / sinh ( x )

上式中，未知数是x，i代表复数。根据文献，应该是有不止一个解。

最好是MATLAB求数值解，因为我数学方面的软件就学过这个。

本人是学激光的，第一次碰到这样的超越方程，不知道怎么解。希望得到高人指点，万分感激。

前几天发在另外一个区，但是久久未见回复。所以在这个区又发了一遍，希望版主手下留情，饶过我重复发帖的罪过。


:@)

scott9

嘿嘿，请高人来指点

无水1324

期待高手路过！我只能帮忙顶一下，在复数 域的求解从来没有搞过

ChaChing

syms a b real
x=a+i*b; ff=i*x/sinh(x)-0.25; ffr=real(ff); ffi=imag(ff);
sol=solve(ffr,ffi,'a','b');
zz=double(subs(x,{a,b},{sol.a,sol.b}))
i * zz / sinh(zz)

无水1324

很好的 想法，但是不知道为什么，我这里运行的时候出错了。
主任指导一下。谢谢哈，错误信息如下：

Warning: 1 equations in 3 variables. New variables might be introduced.
> In solve>mupadSolve at 203
  In solve at 93
Warning: Explicit solution could not be found.
> In solve at 98
??? Error using ==> subsref
No appropriate method, property, or field a for class sym.

Error in ==> sym.subsref at 17
  y = builtin('subsref',x,a);

ChaChing

3F是使用v5.3试的, 刚刚又试下2009a, 也没问题! 无水使用那版本?
还有个人虽年长, 水平与LS无得比, 说指导太过, 大家互相讨论吧!

>> syms a b real
x=a+i*b; ff=i*x/sinh(x)-0.25; ffr=real(ff); ffi=imag(ff);
sol=solve(ffr,ffi,'a','b');
zz=double(subs(x,{a,b},{sol.a,sol.b}))
i * zz / sinh(zz)

zz =
  7.4143e+000 -2.0731e+002i
ans =
   0.2500 - 0.0000i

compaq0000

首先感谢大家对我的帮助，但是我发现楼上得到的结果和文献的结果出入挺大，所以把文献中这一部分的相关信息做了一个摘要，放在附件里面，希望对各位有用。

而且文献中点出了用数值计算（numerical evaluation）来求解该复超越方程（complex transcendental equation）。

各位再接再励啊:@)

compaq0000

刚才网速太慢，好像没发成功，补上附件如下

compaq0000

刚才附件好像没上传成功，再补一个。

ChaChing

汗, LZ的资料有看没看懂!:@L
不过早上也是怕算错, 有验证下i*zz/sinh(zz)是否为0.25!
我想需无水看看了:loveliness:

compaq0000

感谢楼上的 教研室主任

我的附件里面就是把文献中的一些数学方面的细节摘了出来。针对楼上教研室主任给出的那个解，我的两个问题是：第一，解应该不止一个；第二，主任给出的解虚部太大了，远超出附件中坐标的范围。

我当时自己做的时候，是使用 fsolve 函数，以 3-2*i 作为 fsolve 的迭代初值 x0 ，可以得到一个解为 3.4845±2.1177*i
（分别对应±0.25=i*x/sinh(x) ） ，然后代入到 x*coth（x）中，得到 3.4780±2.1217*i 。附件的图中，其实解应该是关于纵坐标对称的，但是原作者只保留了纵坐标右侧的解。上面的 3.4780±2.1217*i ，可以在 0.25 对应的虚折线和黑色实线的交点中看到。

另外，将上述的解 3.4845±2.1177*i 代入到 i*x/sinh(x) 中，得到的答案为 ±0.2500-0.0000*i ；而楼上主任的解 7.4143e+000 -2.0731e+002i 代入到 i*x/sinh(x) 中，得到的是 0.2500+0.0002*i 。

当然，并不是说我的解比楼上的好，只是我的信息比较多一点，毕竟原始文献在我手上。:@)

然后，最主要的问题就是，fsolve 这个函数，每次求解都要求输入初值，但是需要求出这么多解，还要画曲线，怎么可能一个一个初值手动输入呢？

我和大家一起努力，争取解决这个问题。文献是1971年贝尔电话实验室的一个人写的。1971年就能解决的问题，我相信现在我们也能解决，大家一起努力吧，一起多交流一下，一起进步。

非常感激:@)

compaq0000

ChaChing，您好，我送了朵花给您，收到没有。

不知道您那天怎么得到的那个答案，我用相同的代码，得到的答案是图中可以找到的。那就证明方法没有错了。下一步，如何解决一个常数对应多个解的问题。

谢谢啦:@)

ChaChing

原帖由 compaq0000 于 2009-12-28 15:04 发表

                               
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...不知道您那天怎么得到的那个答案...

5F

compaq0000

5F和3F的代码是一样的啊，我用的就是5F的代码。不知道是不是版本的问题，我实验室电脑用的是7.1，没用最新的版本。现在已经证明你的方法是正确的了，关键是怎样同时算出多于一个的根。