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[FFT] [原创]关于FFT的结果为什么要除以N

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发表于 2006-8-28 22:25 | 显示全部楼层 |阅读模式

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关于这个问题,我看到的书好像都没有进行解释,这里我试着解释下:
首先,离散付立叶变换的定义本身比连续付立叶变换少了一个dt(采样时间间隔);
然后,对于单频率成分的信号来说,经过矩形窗截断后的频谱在其信号频率处将放大T(做谱时间长度)倍,同样,对于相隔较远的多频率成分信号来说,相应的频率成分的幅值均将因截断而被放大T倍。
综合考虑这两种原因的话,也就是说我们用FFT做出的谱实际上是放大了T/dt=N(做谱点数)倍,因此,必须将此结果除以N。
以上是对于单频率或相隔较远的多频率成分信号而言的,其他的情况得具体问题具体分析了,如加的是其他窗,就要考虑幅值恢复系数。密集频率成分的考虑等等。

[ 本帖最后由 yangzj 于 2006-8-28 22:29 编辑 ]

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支持原创!!  发表于 2014-4-1 18:28

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发表于 2006-8-28 23:06 | 显示全部楼层
解释的有道理,不过我感觉之所以除以个N,是因为我们在进行离散傅立叶变换时,是连加的,将所有采样的点都加在了一起,所以最后要除以N,不知说得对不对。
 楼主| 发表于 2006-8-29 08:14 | 显示全部楼层
原帖由 sunning 于 2006-8-28 23:06 发表
解释的有道理,不过我感觉之所以除以个N,是因为我们在进行离散傅立叶变换时,是连加的,将所有采样的点都加在了一起,所以最后要除以N,不知说得对不对。


一开始也是这么想的,可后来觉得这样解释不对.
因为有时这样解释是不对的,例如你构造一个低通滤波器序列,照这样解释的话它的频谱同样得除以N,但事实上并不需要,这主要的原因就是它本身是一个连续频率成分.
发表于 2006-8-29 11:22 | 显示全部楼层
原帖由 sunning 于 2006-8-28 23:06 发表
解释的有道理,不过我感觉之所以除以个N,是因为我们在进行离散傅立叶变换时,是连加的,将所有采样的点都加在了一起,所以最后要除以N,不知说得对不对。

学习中
发表于 2006-8-29 14:38 | 显示全部楼层
对于单频率的信号,经过矩形窗截断后,在频谱上为什么要乘以2/N来求得该信号的幅值,这可以经严格的数学推导得出的,它是由sinc函数产生的。现把它的推导过程列于下:
正弦信号幅值A.jpg

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发表于 2006-8-29 14:50 | 显示全部楼层
这个问题以前simon21好像解释过,基本songzy41的类似,不知道在那个帖子的回复里了
发表于 2006-8-29 16:17 | 显示全部楼层
Parseval定理
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发表于 2006-8-29 16:37 | 显示全部楼层
FFT是个算法,至于点数N的处理,有些教科书上是除在FFT上,有些是除在IFFT上,因为FT是个变换,所以要保证 x=IFFT( FFT(x) )成立。

具体的计算公式还是要去研究DFT的一些东东,请楼主不妨参考一下这篇文献: 严普强等,动态测试信号处理中时-频域变换算法的讨论,振动测试与诊断,23(2),2003:120-124。 对傅氏变换,傅立叶级数等一些基本概念做了比较详细的讨论
 楼主| 发表于 2006-8-31 20:43 | 显示全部楼层
原帖由 songzy41 于 2006-8-29 14:38 发表
对于单频率的信号,经过矩形窗截断后,在频谱上为什么要乘以2/N来求得该信号的幅值,这可以经严格的数学推导得出的,它是由sinc函数产生的。现把它的推导过程列于下:


感谢songzy41推导.
从宏观上来看,我觉得用我上面的两点来解释也是没错的,呵呵,请大家拍砖.
发表于 2006-10-9 17:09 | 显示全部楼层
原帖由 sealight 于 2006-8-29 16:37 发表
FFT是个算法,至于点数N的处理,有些教科书上是除在FFT上,有些是除在IFFT上,因为FT是个变换,所以要保证 x=IFFT( FFT(x) )成立。

具体的计算公式还是要去研究DFT的一些东东,请楼主不妨参考一下这篇文献: 严 ...



同意,除以N,是为了傅立叶逆变换的时候在数值上相应,其实对于分析来说意义并不是很大,所以除跟不除以N关系不是很大
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发表于 2007-1-13 10:20 | 显示全部楼层
yimao
说得对
我也是那么认为的
fft与ifft有多种对应方式
上面的一种比较通用
哈哈
发表于 2007-4-6 22:57 | 显示全部楼层
yimao
说得对
我也是那么认为的
fft与ifft有多种对应方式
上面的一种比较通用
发表于 2007-4-20 10:09 | 显示全部楼层

Lathi的《signal and system》中有解释

RT
ms在第八章
现有刘树棠中译版
发表于 2007-4-21 22:12 | 显示全部楼层
支持
发表于 2007-7-17 16:29 | 显示全部楼层
怎么一会N一会N/2??
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