十六维或者8维的非线性系统的李雅普诺夫指数

sssssxxxxx921

在实际中遇到的都是低维动力学系统的李雅普诺夫指数判别，但是要是遇到高维的动力学系，
比如十维  二十维用什么方法比较好，看了论坛上的别人的一些帖子也不太明白，
希望大家帮助，也欢迎大家一起来讨论

sssssxxxxx921

基本思路是不是：求解出来系统的解后，把每一个未知量构成一个时间序列（对于十维的非线性动力学系统来说，构造十个时间序列（x1,x2...,x10)，x1-10分别为一维矩阵），然后再再对时间序列进行相空间重构，最后用CC法或WOLF法等估计李雅普诺夫指数，

这样一个思路对不？
可是对时间序列进行像(相)空间重构，还有那些估计李雅普诺夫指数的方法该怎么理解啊   能解释一下吗

[ 本帖最后由 无水1324 于 2007-7-27 09:52 编辑 ]

shenyongjun

象你说的这种已知系统方程的情况，建议按照定义来求解既准确，又省时间！

[ 本帖最后由 mjhzhjg 于 2007-8-12 16:29 编辑 ]

octopussheng

按照定义求解，有一个问题就是微分方程太难写了，因为用定义求解的时候要求写出系统的线性化系统，拿lorenz系统为例，是一个3维的一阶系统，有3个方程，其线性化系统是9维的，而4维的一阶系统，线性化系统维4*4维的，依此类推，8维的一阶系统，线性化矩阵8*8，16维一阶系统，16*16............

微分方程函数写的就很复杂了，再者，用ode求解高阶微分方程也是一个困难，求解时间过长，现在还不知道怎么解决呢！

sssssxxxxx921

线性化系统是通过雅克比矩阵进行的吗   怎么进行线性化处理

另外我上边说的那种方法对不，实际计算中可行不？

octopussheng

你说的方法是可行的。

另外，你可以参考以下的几篇文章：
谌　龙, 王德石——Lyapunov 指数与混沌同步的计算研究
向小东, 　郭耀煌——混沌时间序列最大Lyapunov 指数的计算
张晓旦——一类基于奇异值分解的Lyapunov指数计算方法

octopussheng

线性化方法你可以参考下面的程序！
Lorenz系统为例
function OUT=lorenzeq(t,X)
%LORENZEQ  Lorenz equation

%PARAMETERS
SIGMA = 16;
RHO = 45.92;
BETA = 4;

%Rearrange input data in desired format
%Note: the input data is a column vector
x=X(1);y=X(2);z=X(3);
Q=[X(4), X(7), X(10);
    X(5), X(8), X(11);
    X(6), X(9), X(12)];

%Lorenz equation
dx=SIGMA*(y-x);
dy=-x*z+RHO*x-y;
dz=x*y-BETA*z;

DX1=[dx;dy;dz];        %Output data

%Linearized system
J=[-SIGMA, SIGMA,     0;
     RHO-z,    -1,    -x;
         y,     x, -BETA];
  
%Variational equation   
F=J*Q;

%Output data must be a column vector
OUT=[DX1; F(:)];

当涉及到高维如8维系统时，需要注意：X(1)~X(8)为状态变量，X(9)~X(72)为线性化后的向量，即矩阵Q是由X(9)~X(72)组成的8×8矩阵

[ 本帖最后由 octopussheng 于 2007-7-27 08:52 编辑 ]

无水1324

原帖由 sssssxxxxx921 于 2007-7-27 08:39 发表

                               
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线性化系统是通过雅克比矩阵进行的吗   怎么进行线性化处理

另外我上边说的那种方法对不，实际计算中可行不？

你说的方法可行，就是如申老师说的太难做，而且计算时间会很长的

octopussheng

计算时间不是一点半点，而且算出来的结果可能还会有问题啊！我就是被这个卡了很久啊！

无水1324

原帖由 octopussheng 于 2007-7-27 08:57 发表

                               
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计算时间不是一点半点，而且算出来的结果可能还会有问题啊！我就是被这个卡了很久啊！

对，所以我一般情况下都不计算什么ＬＥ指数，

sssssxxxxx921

是不是还得有个计算李雅普诺夫指数的函数才能运行上面的洛仑兹图啊

楼上的遇到了什么  能具体说一下吗  让我考虑一下自己的难度  呵呵

octopussheng

还是无水比较幸福！

我这个问题是用let算出的分数维居然为0，而且LE是四个的，前两个数值差不多，后两个数值差不多，这个原因可能找出来了，但是现在还没有时间去实现！

sssssxxxxx921

李雅普诺夫指数和分数维有什么联系吗

octopussheng

当然有关系了啊，有个计算公式的，这里说的分数维指的是盒维数

具体关系可以看下面的图

sssssxxxxx921

那分维数和李雅普诺夫指数互相验证也可以从这个公式进行了？
式中j表示李雅普诺夫指数个数对不？
另外是不是有一个专门计算李雅普诺夫指数的lyapunov.m函数
上面的程序保存了之后，然后运行lyapunov.m函数，是这样的吗？