为何假设各自由度是相同的频率?

FAI_gavin

原帖由 欧阳中华 于 2009-6-25 20:34 发表

                               
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     客气，我一直在学习...

教授还是公布下答案吧。。。

GhostCry

这个问题都挂了这么久了，答案都还没揭晓，而且前面的讨论也越看越糊涂。自已想了一下，试着分析一下，因为是新手，不知道对不对，请弟兄们斧正。

对二自由度系统，两个质量体的位移假定为x1,x2,则质量体的运动方程为(以质量体1为例):m x1" = f(x1,x2)
假定x1和x2频率不同，即x1=X1 sin(w1 t),   x2=X2 sin(w2 t),那么如果将这两个不同频率的x1,x2代入上面的运动方程，并化简，就会得到形如 Q1 sin(w1 t) = Q2 sin(w2 t)的方程，这个方程是无普遍解的，无意义，因此只有假定w1 = w2时，运动方程才有解。

从物理意义上看，每个独立的质量体，它有自已的运动频率w1，同时又受外部频率w2的影响，而内部频率w1可以看成是内部频率自身与外部频率w2以某种方式叠加的结果，如果w1与w2不相等，则叠加结果不等于w2，系统是不稳定的。

GGONG

我觉得 问题的答案其实在前面好几个人都已经指出来了。

归根结底，就是线性微分方程的解的问题。跟free vibration 对应的方程英文叫homogeneous linear equation (常数项等于0）。对多自由度体系，对应的是方程组。

通过设定一个固定的频率omega，从而可以猜出推出方程（组）的一个特解或n个特解， 特解的线性组合还是原方程组的解。至于这个线性组合的解是不是原方程的全解，可以通过线性不相关等概念和原方程组的解线性空间的维数来补全确论（原方程组解的空间最多有n维，只要能找到n个线性不相关基解，也就能找到全解）。

Laplace方程通过分离变量法来求解，也是先猜特解，再线性组合，再补全确论全解。只是这不是方程组。

[ 本帖最后由 GGONG 于 2009-7-31 03:41 编辑 ]

GGONG

我想补充的是 这的确是个数学上的技巧！学结构振动才不到一个月，所以没想过从物理上来解决这个问题。

VibrationMaster

我的新书里面不是从这里出发的，而是解藕导出的结果。
http://forum.vibunion.com/forum/thread-85568-1-1.html 这里就回避了所说的假设

ChaChing

那份资料早下了, 仅瞄了下, 还没细读!:@L
这下一定得细细研究了, 等学习完再请教
谢谢:handshake

micjor

楼主的发贴问题，是我盼望已久期望搞清的问题，今天偶然发现了。。。
看了众回复，感觉似乎可以从数学求解的角度解释，即：线性微分方程的解的形式问题
我想，有更深数学功底的人可以拔高一个层次理解。
至于物理意义，我想数学和物理从来相铺相成，比如数学上的广义特征值问题就对应着物理上的求解固有频率和固有振型问题。
各自由度同频率的数学推导前提假设，是为了研究振动系统各自由度同步运动的可能。所以同频率实质是对应着同步运动。可不可以这样理解，多自由度系统的同步运动是一种必然存在的、固有的、特殊的振动现象。对所有的同步运动模式的数学推导分析，就是所谓的模态分析。

ttwwooblueyes

很好的问题。说一点我自己的浅见。请各位批评。

1. 问题的焦点在在于为何要假设一个omega来求解。
2. 我猜测VibrationMaster在他书中是采用的消去法求解（您称作‘解耦’？）。这样的话可以绕过所谓的特征方程，把一个2自由度系统化为一个单自由度2阶系统来求解。即把自由度数转化为微分方程的阶数。在此求解的过程中，不会存在ChaChing所担心的问题。
3. 如果一定要采用特征方程求解（其实我认为这种方法给人更本质的认识，也更具备通用性），则需要进行假设。还是以2自由度的系统为例，假设的来源在于齐次2阶微分方程的通解的形式，通解一般为两个线性无关的解的线性组合。如果我们只看其中的一个解，对于各个自由度来说，该解具有的频率是相同的。因此我们需要假设一个omega。

ChaChing

原帖由 ttwwooblueyes 于 2009-11-22 20:04 发表

                               
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...我猜测VibrationMaster在他书中是采用的消去法求解（您称作‘解耦’？）...

干嘛要猜测! 下载一起看看研讨!
最近公事较繁忙些, 这几天仅看了些, 还未消化完!
无奈水平有限, 看资料就直累, 希望早点看完, 若有所理解再与大伙分享

jfq86729sl

学习了  看来应该经常光顾一下

glen1178

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