弱非线性与强非线性

yh0247

一直在用多尺度法解弱非线性问题，方程都是向经典的公式上靠，然后将若干项前面加上小参数，有些项的系数绝对值很大，也当作弱项来处理，这样会不会出问题？因为很多系数都是根据已有的数据设定的，比如弹性模量，转动惯量等等。
我以前看到有的帖子说，弱非线性方法解出的结果如果是错误的，或者说误差太大，就要采用强非线性的解法。问题是很多都只是数值模拟，没有经过试验验证，怎么才能证明弱非线性方法错了呢？
这样就导致一个疑惑：到底是什么因素决定你是选择弱非线性方法还是强非线性方法来解决问题呢？

中原

弱非线性方法还是强非线性方法之间也有模糊区域，你说的大概是用解析方法（比如摄动法等）时会遇到这种困惑吧，有一个方法可以让你免除这种困惑，就是同伦分析方法。

很多例子中应用摄动法就是把非线性项应用小参数重新表达，这样在摄动分析中就回避了你的问题，因为他们只会讲这是若非线性问题，至于怎么个程度不知，力学问题中我常常理解弱非线性时与激励项联系起来，如果激励项（如正弦激励等）的激励幅非常小时，就认为是弱非线性，但小到什么程度，坦白将，这是我也想和你一样问同样的问题。

但一般而言，强非线性问题很难求得其解析解，非线性问题解的表达形式主要取决于非线性方程类型和所采用的解析方法，且级数解收敛区域通常强烈依赖物理参数，当非线性变强时，非线性问题的解析解往往失效，摄动解仅对弱非线性问题有效，现在发展起来的同伦分析方法就是面向强非线性（当然若非线性也可），已经有人证明，它在逻辑上包含了Adomian分解法，Lyapunov人工小参数法和δ展开法等方法，也就是说它被视为一种统一、更普遍性的一般方法。

想了解同伦分析方法，给你推荐一本书科学出版社 廖世俊的《超越摄动——同伦分析方法导论》

yh0247

真的是受益匪浅，谢谢中原，我做弱非线性时，总感觉这样设很牵强，得到的结论 很难保证是有效的。

drbethune

既要看廖世俊 也要看何吉欢:@)

drbethune

有时候,直接用常数变易的方法也可以把大参数变换为小参数,再用小参数(摄动)法求解

无水1324

何吉欢提出了什么好的方法

无水1324

原帖由 drbethune 于 2007-6-28 11:34 发表

                               
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有时候,直接用常数变易的方法也可以把大参数变换为小参数,再用小参数(摄动)法求解

这种转换合理吗？准确度有多少？

drbethune

上网搜搜 He Ji-Huan,很多的.

drbethune

这种变换本身不存在精确度的问题,最后出来的就是普通的弱非线性方程

无水1324

原帖由 drbethune 于 2007-6-28 12:46 发表

                               
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这种变换本身不存在精确度的问题,最后出来的就是普通的弱非线性方程

意思就是说强非线性到弱非线性可以等价变化？

octopussheng

原帖由 无水1324 于 2007-6-28 12:58 发表

                               
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意思就是说强非线性到弱非线性可以等价变化？

等价变化肯定是不可能的，只能是在某种程度上可以对强非线性进行一定程度的近似，将其转化为弱非线性问题，进而分析

无水1324

原帖由 drbethune 于 2007-6-28 12:46 发表

                               
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这种变换本身不存在精确度的问题,最后出来的就是普通的弱非线性方程

你看一下他说的话

octopussheng

以下摘自陈树辉——强非线性振动系统的定量分析方法
非线性振动有强弱之分：
弱非线性振动——如果描述振动系统微分方程的非线性项的系数相对于线性项的系数是很微小的量，即非线性项带有小参数，则称系统为弱非线性系统或拟线性系统，如
         mx''+εcx'+kx+εk3x^3=εpcos(omiga*t)
强非线性振动——如果描述振动系统微分方程的非线性项的系数相对于线性项的系数不是很微小的量，或者系统微分方程不能归结为非线性部分带有小参数，则称为强非线性系统，
         如mx''+cx'+kx+γ3x^3=εpcos(omiga*t)，γ为大参数，
        或者  mx''+cx'+f(x)=pcos(omiga*t)
强非线性系统的定量分析方法，是近20年来在传统摄动法的基础上发展起来的，主要分为圆函数（三角函数）摄动法、椭圆函数摄动法、广义谐波函数摄动法和不归于上述三大类的其他方法。

圆函数（三角函数）摄动法以改进的L－P方法（modified Lindstedt-Poincare method）为代表
椭圆函数摄动法以椭圆函数L-P法（elliptic Lindstedt-Poincare method）为代表
广义谐波函数摄动法以推广的L－P法为代表
其他方法包括直接变分法、频闪变换法等。

咕噜噜

何吉欢的那个近似求解有时候局限性还是很大的，有些情况并不适用
何吉欢的那个近似求解方法就叫做何吉欢法

咕噜噜

这个算是目前比较公认的观点了，但是说归说实际操作起来并没有那么简单
就小参数的限定对不同系统大小也并不完全一致