关于非线性振动的分叉

wanyeqing2003

原帖由 shenyongjun 于 2007-5-7 16:40 发表

                               
登录/注册后可看大图

分岔主要研究随着某一参数变化时周期解和平衡点的数目、稳定性等改变的情况。其中静态分岔对应平衡点，动态分岔对于周期解。

谢谢。
解释非常清楚，建议管理员给予奖励。

wanyeqing2003

再请教一个问题：混沌的概念是什么？它与分叉有什么区别？
谢谢。

无水1324

混沌没有一个统一的概念

不过有一些无力解释，如下：
     在物理中混沌的特征：发生在确定系统中的随机现象；短期行为是可以预测的随机现象；长期行为是不可预测的随机现象；具有一个确定的结构。

wanyeqing2003

原帖由 无水1324 于 2007-5-7 19:59 发表

                               
登录/注册后可看大图

混沌没有一个统一的概念

不过有一些无力解释，如下：
     在物理中混沌的特征：发生在确定系统中的随机现象；短期行为是可以预测的随机现象；长期行为是不可预测的随机现象；具有一个确定的结构。

今天就和“咕噜噜”一起探讨过这个问题，确实不好理解。
我在一些书上看到介绍的混沌现象，其实不是太准确。
我认为有些分叉不一定是混沌的，而且许多分叉现象也可以转变为稳定的无分叉的状态。

shenyongjun

个人感觉分岔与混沌是两个相互联系的概念，他们之间既有联系，更有区别！
1  分岔的概念参考45楼！
2  混沌的概念无水解释的也很清楚，其最主要的特点是长期不可预测性(或者说初值敏感性)！
3  分岔是当系统中的某一个(或者某几个)参数在某个区间改变时，系统的解发生的一系列变化；分岔对应的是一系列的解！
4  混沌对应的是确定性系统取某一组参数(注意这时每个系统参数都有确定的值)时的解，如果貌似随机且长期不可预测，那么一般可以确定系统的响应是混沌的！
5  从3、4可见，混沌对应的是系统取一组参数时的一个解，分岔对应的某一个参数在某一区间无限变化时的无限多个解！
6  有些分岔最终可能导致混沌现象，如常见的倍周期分岔、一些拟周期分岔等，但是有些分岔不会导致混沌，如鞍结分岔、叉形分岔等；
有些混沌是由分岔产生的(如上)，有些混沌却与分岔无关，如阵发性混沌！

wanyeqing2003

原帖由 无水1324 于 2007-4-22 08:52 发表

                               
登录/注册后可看大图

我对你的论点有点怀疑,
  对于非线性系统而言，响应函数应都是与其初始条件有关的。只是在有些强非线性系统里面对其作一些简化，同时也就削弱了对初值的敏感性。

          不知道能否给出个无关的例子?

我现在还举不出来这样的例子，由于没有反证过，不能断定没有，所以前面的我说的是“只有一些比较特殊的非线性系统......。”

wanyeqing2003

非常感谢shenyongjun 和 无水1324

gghhjj

原帖由 shenyongjun 于 2007-5-7 22:53 发表

                               
登录/注册后可看大图

个人感觉分岔与混沌是两个相互联系的概念，他们之间既有联系，更有区别！
1  分岔的概念参考45楼！
2  混沌的概念无水解释的也很清楚，其最主要的特点是长期不可预测性(或者说初值敏感性)！
3  分岔是当系统 ...

总结的非常不错

wanyeqing2003

关于静态分叉和动态分叉，有这样的描述：
1、静态分叉主要讨论平衡数目和稳定性的变化，如，极限点分叉（鞍结分叉）、叉形分叉、跨临界分叉、滞后分叉、孤立点分叉等；
2、动态分叉主要讨论系统在相空间中轨线拓扑结构的变化，如，Hopf分叉、次谐和超谐分叉、概（准）周期分叉（不变环面分叉）、同异宿轨线分叉等。

gghhjj

静态分岔和动态分岔实际上没有必要分的特别清楚,因为实际上动态分岔问题的研究就包含了动态分岔问题
当然,很多时候实际问题可以归结为静态分岔

如果非要给一个定义的话,正如楼上说的
静态分岔就是研究f(x,u)=0这样的分岔方程解的数目随u的变化问题
动态分岔是研究动力系统在任意扰动下相空间中轨迹的拓扑结构变化问题

对于平面矢量场分岔问题,根据安德罗诺夫-潘特里雅金定理可以分为与平衡点有关的分岔、闭轨分岔以及同宿和异宿轨道分岔

楼上说的内容应该是来自金栋平教授《非线性动力学》这一课程讲义中的分类

wanyeqing2003

这两天又做了一点工作，发现前面的频响曲线分叉图有点问题，主要是excel显示的问题。我又用origin画了。

wanyeqing2003

这幅图好像好一些。

bobwatson

27#：“而瞬态响应，我的理解是有两种情况：。。。
2、非线性系统对于脉冲激励条件下，系统的响应。”
我怎么觉得，“脉冲激励条件下，系统的响应”问题可当作强迫振动问题来解。请高手斧正并作详细讲解。

wanyeqing2003

脉冲激励和强迫振动是有区别的。
1、脉冲激励是瞬时的作用，系统随后是自由振动。
2、而强迫振动激振力一直作用于系统上，系统总是处于受迫振动状态。
3、脉冲激励，瞬时激振能量比较大，而且激振频率带宽较大。
4、而受迫振动的激振的频率区间有一定的限制。

gghhjj

原帖由 wanyeqing2003 于 2007-5-10 16:14 发表

                               
登录/注册后可看大图

这两天又做了一点工作，发现前面的频响曲线分叉图有点问题，主要是excel显示的问题。我又用origin画了。

这个图效果不错，是什么模型做的？