关于非线性振动的分叉

咕噜噜

线性系统的话相对来说要简单一些，遇到非线性系统就考虑这些
毕竟非线性诱因和结果都是很复杂的

wanyeqing2003

原帖由 咕噜噜 于 2007-5-15 11:28 发表

                               
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线性系统的话相对来说要简单一些，遇到非线性系统就考虑这些
毕竟非线性诱因和结果都是很复杂的

咕噜噜 说的没错。
我又看了一些资料，发现关于非线性平衡（点）的说法，各有不同。
有没有高手给解释一下，什么叫非线性的平衡点？

flybaly

原帖由 咕噜噜 于 2007-5-15 11:28 发表

                               
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线性系统的话相对来说要简单一些，毕竟非线性诱因和结果都是很复杂的

“线性系统的话相对来说要简单一些，遇到非线性系统就考虑这些
”:@L 是什么意思？
实际问题都是非线形的，对于实际问题的简化一是在物理模型上（自身的结构简化，外力简化，本构简化等等），从实际问题简化到物理模型后再考虑数学的简化，比如说从偏微分方程简化到常微分方程。
不知道你说的那些是什么意思，能解释清楚吗？谢谢！

flybaly

原帖由 wanyeqing2003 于 2007-5-15 14:25 发表

                               
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咕噜噜 说的没错。
我又看了一些资料，发现关于非线性平衡（点）的说法，各有不同。
有没有高手给解释一下，什么叫非线性的平衡点？

非线性的平衡点难道不是对应于原数学系统的时间相关项为零（速度和加速度为零）？
能把你看到的资料共享一下么？

wanyeqing2003

原帖由 flybaly 于 2007-5-15 15:04 发表

                               
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非线性的平衡点难道不是对应于原数学系统的时间相关项为零（速度和加速度为零）？
能把你看到的资料共享一下么？

我在一些资料上看到关于平衡（点）的说法不太一致。
对于速度和加速度为零的点，我想应该是对应静态平衡的点。而动平衡可能不能这样理解了。

咕噜噜

原帖由 flybaly 于 2007-5-15 15:03 发表

                               
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“线性系统的话相对来说要简单一些，遇到非线性系统就考虑这些
”:@L 是什么意思？
实际问题都是非线形的，对于实际问题的简化一是在物理模型上（自身的结构简化，外力简化，本构简化等等），从实际问题简化 ...

当然是考虑所有可能造成系统非线性的因素啊，主要是建立模型后所考虑的问题角度不同因此所要考虑的因素也就不同，比如系统结构方面的还是材料方面的。其实我觉得物理模型很多时候线性和非线性本没有多大差别，差别主要在系统内部特性上有所不同，比如线性阻尼还是非线性，外加载荷线性非线性等等
你说的自身结构简化属于建模问题，偏微分到常微分的简化大体属于模型简化，非线性问题建模前期我觉得通常不会吧非线性放到很重要的位置，只有在分析系统内部外部特性时才会具体考虑
我和万老师在说非线性的诱因也就是因素是很多的，分析系统特性是就要考虑到那些因素，导致的结果也往往不是一下子就能分析清楚的

[ 本帖最后由 咕噜噜 于 2007-5-15 16:04 编辑 ]

咕噜噜

当然，我说的不一定对，毕竟我也是接触非线性不久，在系统特性的把握上我只能说自己还很模糊

咕噜噜

原帖由 wanyeqing2003 于 2007-5-15 14:25 发表

                               
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咕噜噜 说的没错。
我又看了一些资料，发现关于非线性平衡（点）的说法，各有不同。
有没有高手给解释一下，什么叫非线性的平衡点？

对于平衡点我所知并不很多，从关于奇点的定义中可知奇点是系统的平衡点（刘延柱《振动力学》），奇点是速度和加速度均为零的，但是平衡点也有稳定平衡点和不稳定平衡点，保守系统中相图中心点属于稳定平衡点，而鞍点和拐点对应与不稳定平衡点

flybaly

原帖由 咕噜噜 于 2007-5-15 15:51 发表

                               
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当然是考虑所有可能造成系统非线性的因素啊，主要是建立模型后所考虑的问题角度不同因此所要考虑的因素也就不同，比如系统结构方面的还是材料方面的。其实我觉得物理模型很多时候线性和非线性本没有多大差别， ...

毫无疑问，系统的非线性因素很多，物理（材料）非线性、几何非线性（大变形）、力的非线性等等，每一种非线性都对系统的特性有本质的改变。对实际模型考虑的越真实越能对系统有本质的认识。阻尼的影响也一样，虽然很多时候我们不能够清楚的描述阻尼力的形式。

flybaly

原帖由 wanyeqing2003 于 2007-5-15 15:32 发表

                               
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我在一些资料上看到关于平衡（点）的说法不太一致。
对于速度和加速度为零的点，我想应该是对应静态平衡的点。而动平衡可能不能这样理解了。

狭义的平衡点实际上就是速度和加速度为零的点。也就是系统的奇点。
如果详细的考虑，应从方程的特征来分类：向量场（连续的）还是映射（不连续的）
向量场的平衡点英文equilibrium，映射的不动点fixed points
你说的动平衡实际上是系统的周期解吧。。。

有了这些平衡点的分类，我们就可以讨论分叉问题
向量场的平衡点分叉，前面的帖子中也有表述，J[A]有非双曲平衡点
映射的不动点分叉，就是其Jacobian 矩阵的特征值的模为1
周期解的分叉，可以同过Floquet理论来分析，分为FLOD，FLIP，NEIMARK SACKER
当然这些都是codim1 分叉，codim 2分叉更多了，codim3 很少有人研究过。

wanyeqing2003

在讨论平衡点时，经常会提到鞍点，结点和焦点等概念。

而在有些资料上说：分叉位置可能出现多个平衡点。我想这个平衡点就是flybaly所说的周期解，实际上，就是动平衡的概念。

我现在是力图运用一些非线性知识，来解决一些实际问题。如果一下子提出这么多理论概念，可能会感觉到有点晕。:@P

不过，不管怎么样，还是非常感谢flybaly热心、全面的回答。

flybaly

原帖由 wanyeqing2003 于 2007-5-15 18:22 发表

                               
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在讨论平衡点时，经常会提到鞍点，结点和焦点等概念。

而在有些资料上说：分叉位置可能出现多个平衡点。我想这个平衡点就是flybaly所说的周期解，实际上，就是动平衡的概念。

我现在是力图运用一些非线性 ...

多谢万大哥的评价。
不过我还想说的是：
分叉出现平衡点数目的变化，属于局部分叉；既然是平衡点，就不一样认为多出的平衡点是周期解（暂且认为平衡点增多了，比如叉式分叉）。
从平衡点分叉出现周期解的分叉类型，是Hopf分叉，J（A）出现一对纯虚根，属于全局分叉。
应该区分清楚。因为它们有本质的不同。
这只是我在学习过程中的理解，也可能理解的不是太准确，大家可以各抒己见，共同讨论，共同提高。

wanyeqing2003

是的。

在许多非线线性问题中，我觉得有一些认识上的差异，特别是对分叉和混沌。不同文献上会有不同的解释。

不过，我受自身条件的限制，现在没有能力去理解过多的理论问题。我只是针对我遇到的实际问题，去处理，去解决。

总之，我在这里和大家一起讨论，受益匪浅。再次，谢谢！

wanyeqing2003

原帖由 flybaly 于 2007-5-15 18:53 发表

                               
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多谢万大哥的评价。
不过我还想说的是：
分叉出现平衡点数目的变化，属于局部分叉；既然是平衡点，就不一样认为多出的平衡点是周期解（暂且认为平衡点增多了，比如叉式分叉）。
从平衡点分叉出现周期解的 ...

许多工程问题，都属于局部分叉范畴。

我认为，工程实际无法拓展到全局范围。

我同意，局部分叉多出来的点不一定是平衡点，不一定是周期解。我觉得可能出现混沌，我见过这样的例子。

[ 本帖最后由 wanyeqing2003 于 2007-5-15 20:50 编辑 ]

flybaly

原帖由 wanyeqing2003 于 2007-5-15 20:48 发表

                               
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许多工程问题，都属于局部分叉范畴。

我认为，工程实际无法拓展到全局范围。

我同意，局部分叉多出来的点不一定是平衡点，不一定是周期解。我觉得可能出现浑沌，我见过这样的例子。

至于混沌的产生机理，也有很多人研究。比如3次倍周期分岔，准周期环面的断裂，切分岔（？）等等应该都是全局分岔产生混沌的情况。但是混沌之前肯定是前经过了很复杂的分岔变化。
所谓的局部分岔我认为是就系统在平衡点附近taylor展开情况，除了这个平衡点不考虑其它的奇点而言的，并不一定是对应于工程中的全部参数变化。如果涉及相图中多个平衡点之间的解轨迹的变化情况就要研究全局分岔，或动态分岔。
其实有许多问题涉及全局分岔，比如大量的hopf分岔的例子，比如天文中经典的多体问题等等
因为研究了所有这些分岔之后，才能对整个系统有个全局的认识，这是定性研究区别于定量研究之外的意义吧。

万兄能把所说的局部分岔出现混沌的例子发给我看一下么。多谢。